Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74438 / 77547
↖ ↑ ↗
← S 31.304368°
E 24.450073°		 ← 260.96 m → S 31.304368°
E 24.452820°		 →
↑
260.96 m
↓
↑
260.96 m
↓
S 31.306715°
E 24.450073°		 ← 260.96 m →
68 099 m²		 S 31.306715°
E 24.452820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74438 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77547 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567920684814453 y=0.591640472412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567920684814453 × 217)
    floor (0.567920684814453 × 131072)
    floor (74438.5)     		tx = 74438
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591640472412109 × 217)
    floor (0.591640472412109 × 131072)
    floor (77547.5)     		ty = 77547
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74438 / 77547 ti = "17/74438/77547"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74438/77547.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74438 ÷ 217
    74438 ÷ 131072     		x = 0.567916870117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77547 ÷ 217
    77547 ÷ 131072     		y = 0.591636657714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567916870117188 × 2 - 1) × π
    0.135833740234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42673428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591636657714844 × 2 - 1) × π
    -0.183273315429688 × 3.1415926535     		Φ = -0.575770101336494
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42673428} λ = 0.42673428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.575770101336494))-π/2
    2×atan(0.56227169585038)-π/2
    2×0.512216013533534-π/2
    1.02443202706707-1.57079632675     		φ = -0.54636430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42673428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.450073°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54636430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.304368°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74438 KachelY 77547 0.42673428 -0.54636430 24.450073 -31.304368
    Oben rechts KachelX + 1 74439 KachelY 77547 0.42678222 -0.54636430 24.452820 -31.304368
    Unten links KachelX 74438 KachelY + 1 77548 0.42673428 -0.54640526 24.450073 -31.306715
    Unten rechts KachelX + 1 74439 KachelY + 1 77548 0.42678222 -0.54640526 24.452820 -31.306715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54636430--0.54640526) × R
    4.09599999999788e-05 × 6371000     		dl = 260.956159999865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54636430--0.54640526) × R
    4.09599999999788e-05 × 6371000     		dr = 260.956159999865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42673428-0.42678222) × cos(-0.54636430) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.854419217368781 × 6371000     		do = 260.96162173491m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42673428-0.42678222) × cos(-0.54640526) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.854397934480848 × 6371000     		du = 260.955121393113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54636430)-sin(-0.54640526))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.854419217368781-0.854397934480848)×R²
    abs(0.42678222-0.42673428)×2.12828879337934e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.12828879337934e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.12828879337934e-05×40589641000000     		ar = 68098.6945726267m²