Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74438 / 55374
↖ ↑ ↗
← N 26.868181°
E 24.450073°		 ← 272.45 m → N 26.868181°
E 24.452820°		 →
↑
272.42 m
↓
↑
272.42 m
↓
N 26.865731°
E 24.450073°		 ← 272.46 m →
74 224 m²		 N 26.865731°
E 24.452820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74438 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55374 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567920684814453 y=0.422473907470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567920684814453 × 217)
    floor (0.567920684814453 × 131072)
    floor (74438.5)     		tx = 74438
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422473907470703 × 217)
    floor (0.422473907470703 × 131072)
    floor (55374.5)     		ty = 55374
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74438 / 55374 ti = "17/74438/55374"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74438/55374.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74438 ÷ 217
    74438 ÷ 131072     		x = 0.567916870117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55374 ÷ 217
    55374 ÷ 131072     		y = 0.422470092773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567916870117188 × 2 - 1) × π
    0.135833740234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42673428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422470092773438 × 2 - 1) × π
    0.155059814453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.487134773939011
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42673428} λ = 0.42673428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.487134773939011))-π/2
    2×atan(1.62764595885415)-π/2
    2×1.01986727377639-π/2
    2.03973454755278-1.57079632675     		φ = 0.46893822
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42673428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.450073°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46893822 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.868181°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74438 KachelY 55374 0.42673428 0.46893822 24.450073 26.868181
    Oben rechts KachelX + 1 74439 KachelY 55374 0.42678222 0.46893822 24.452820 26.868181
    Unten links KachelX 74438 KachelY + 1 55375 0.42673428 0.46889546 24.450073 26.865731
    Unten rechts KachelX + 1 74439 KachelY + 1 55375 0.42678222 0.46889546 24.452820 26.865731
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46893822-0.46889546) × R
    4.27600000000306e-05 × 6371000     		dl = 272.423960000195m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46893822-0.46889546) × R
    4.27600000000306e-05 × 6371000     		dr = 272.423960000195m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42673428-0.42678222) × cos(0.46893822) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.892048651138425 × 6371000     		do = 272.454619389777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42673428-0.42678222) × cos(0.46889546) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.892067975250828 × 6371000     		du = 272.460521471107m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46893822)-sin(0.46889546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.892048651138425-0.892067975250828)×R²
    abs(0.42678222-0.42673428)×1.93241124024635e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.93241124024635e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.93241124024635e-05×40589641000000     		ar = 74223.9702800136m²