Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74437 / 77613
↖ ↑ ↗
← S 31.459126°
E 24.447326°		 ← 260.53 m → S 31.459126°
E 24.450073°		 →
↑
260.51 m
↓
↑
260.51 m
↓
S 31.461468°
E 24.447326°		 ← 260.53 m →
67 870 m²		 S 31.461468°
E 24.450073°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74437 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77613 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567913055419922 y=0.592144012451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567913055419922 × 217)
    floor (0.567913055419922 × 131072)
    floor (74437.5)     		tx = 74437
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592144012451172 × 217)
    floor (0.592144012451172 × 131072)
    floor (77613.5)     		ty = 77613
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74437 / 77613 ti = "17/74437/77613"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74437/77613.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74437 ÷ 217
    74437 ÷ 131072     		x = 0.567909240722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77613 ÷ 217
    77613 ÷ 131072     		y = 0.592140197753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567909240722656 × 2 - 1) × π
    0.135818481445312 × 3.1415926535     		Λ = 0.42668634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.592140197753906 × 2 - 1) × π
    -0.184280395507812 × 3.1415926535     		Φ = -0.578933936711418
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42668634} λ = 0.42668634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.578933936711418))-π/2
    2×atan(0.560495571932133)-π/2
    2×0.510865504645745-π/2
    1.02173100929149-1.57079632675     		φ = -0.54906532
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42668634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.447326°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54906532 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.459126°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74437 KachelY 77613 0.42668634 -0.54906532 24.447326 -31.459126
    Oben rechts KachelX + 1 74438 KachelY 77613 0.42673428 -0.54906532 24.450073 -31.459126
    Unten links KachelX 74437 KachelY + 1 77614 0.42668634 -0.54910621 24.447326 -31.461468
    Unten rechts KachelX + 1 74438 KachelY + 1 77614 0.42673428 -0.54910621 24.450073 -31.461468
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54906532--0.54910621) × R
    4.08900000000711e-05 × 6371000     		dl = 260.510190000453m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54906532--0.54910621) × R
    4.08900000000711e-05 × 6371000     		dr = 260.510190000453m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42668634-0.42673428) × cos(-0.54906532) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.853012694893442 × 6371000     		do = 260.532033567355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42668634-0.42673428) × cos(-0.54910621) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.852991354091563 × 6371000     		du = 260.525515537149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54906532)-sin(-0.54910621))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853012694893442-0.852991354091563)×R²
    abs(0.42673428-0.42668634)×2.13408018789885e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.13408018789885e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.13408018789885e-05×40589641000000     		ar = 67870.4005687017m²