Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74435 / 76764
↖ ↑ ↗
← S 29.449165°
E 24.441834°		 ← 265.96 m → S 29.449165°
E 24.444580°		 →
↑
265.93 m
↓
↑
265.93 m
↓
S 29.451556°
E 24.441834°		 ← 265.96 m →
70 725 m²		 S 29.451556°
E 24.444580°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74435 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76764 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567897796630859 y=0.585666656494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567897796630859 × 217)
    floor (0.567897796630859 × 131072)
    floor (74435.5)     		tx = 74435
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585666656494141 × 217)
    floor (0.585666656494141 × 131072)
    floor (76764.5)     		ty = 76764
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74435 / 76764 ti = "17/74435/76764"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74435/76764.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74435 ÷ 217
    74435 ÷ 131072     		x = 0.567893981933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76764 ÷ 217
    76764 ÷ 131072     		y = 0.585662841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567893981933594 × 2 - 1) × π
    0.135787963867188 × 3.1415926535     		Λ = 0.42659047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585662841796875 × 2 - 1) × π
    -0.17132568359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.538235508933991
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42659047} λ = 0.42659047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.538235508933991))-π/2
    2×atan(0.583777414165411)-π/2
    2×0.528405719307976-π/2
    1.05681143861595-1.57079632675     		φ = -0.51398489
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42659047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.441834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51398489 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.449165°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74435 KachelY 76764 0.42659047 -0.51398489 24.441834 -29.449165
    Oben rechts KachelX + 1 74436 KachelY 76764 0.42663841 -0.51398489 24.444580 -29.449165
    Unten links KachelX 74435 KachelY + 1 76765 0.42659047 -0.51402663 24.441834 -29.451556
    Unten rechts KachelX + 1 74436 KachelY + 1 76765 0.42663841 -0.51402663 24.444580 -29.451556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51398489--0.51402663) × R
    4.17400000000123e-05 × 6371000     		dl = 265.925540000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51398489--0.51402663) × R
    4.17400000000123e-05 × 6371000     		dr = 265.925540000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42659047-0.42663841) × cos(-0.51398489) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.870792250867009 × 6371000     		do = 265.962367607455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42659047-0.42663841) × cos(-0.51402663) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.870771728589347 × 6371000     		du = 265.956099575614m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51398489)-sin(-0.51402663))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.870792250867009-0.870771728589347)×R²
    abs(0.42663841-0.42659047)×2.05222776616942e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.05222776616942e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.05222776616942e-05×40589641000000     		ar = 70725.3528210584m²