Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74434 / 78274
↖ ↑ ↗
← S 32.994843°
E 24.439087°		 ← 256.17 m → S 32.994843°
E 24.441834°		 →
↑
256.18 m
↓
↑
256.18 m
↓
S 32.997146°
E 24.439087°		 ← 256.16 m →
65 623 m²		 S 32.997146°
E 24.441834°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74434 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567890167236328 y=0.597187042236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567890167236328 × 217)
    floor (0.567890167236328 × 131072)
    floor (74434.5)     		tx = 74434
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597187042236328 × 217)
    floor (0.597187042236328 × 131072)
    floor (78274.5)     		ty = 78274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74434 / 78274 ti = "17/74434/78274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74434/78274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74434 ÷ 217
    74434 ÷ 131072     		x = 0.567886352539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78274 ÷ 217
    78274 ÷ 131072     		y = 0.597183227539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567886352539062 × 2 - 1) × π
    0.135772705078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42654253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597183227539062 × 2 - 1) × π
    -0.194366455078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.610620227360275
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42654253} λ = 0.42654253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.610620227360275))-π/2
    2×atan(0.543013972486311)-π/2
    2×0.497463840976392-π/2
    0.994927681952784-1.57079632675     		φ = -0.57586864
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42654253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.439087°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57586864 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.994843°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74434 KachelY 78274 0.42654253 -0.57586864 24.439087 -32.994843
    Oben rechts KachelX + 1 74435 KachelY 78274 0.42659047 -0.57586864 24.441834 -32.994843
    Unten links KachelX 74434 KachelY + 1 78275 0.42654253 -0.57590885 24.439087 -32.997146
    Unten rechts KachelX + 1 74435 KachelY + 1 78275 0.42659047 -0.57590885 24.441834 -32.997146
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57586864--0.57590885) × R
    4.0209999999985e-05 × 6371000     		dl = 256.177909999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57586864--0.57590885) × R
    4.0209999999985e-05 × 6371000     		dr = 256.177909999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42654253-0.42659047) × cos(-0.57586864) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.838719589227331 × 6371000     		do = 256.166551192382m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42654253-0.42659047) × cos(-0.57590885) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.838697691649297 × 6371000     		du = 256.159863108407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57586864)-sin(-0.57590885))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.838719589227331-0.838697691649297)×R²
    abs(0.42659047-0.42654253)×2.1897578034169e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.1897578034169e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.1897578034169e-05×40589641000000     		ar = 65623.3550356152m²