Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74434 / 56290
↖ ↑ ↗
← N 24.602075°
E 24.439087°		 ← 277.70 m → N 24.602075°
E 24.441834°		 →
↑
277.71 m
↓
↑
277.71 m
↓
N 24.599577°
E 24.439087°		 ← 277.71 m →
77 121 m²		 N 24.599577°
E 24.441834°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74434 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567890167236328 y=0.429462432861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567890167236328 × 217)
    floor (0.567890167236328 × 131072)
    floor (74434.5)     		tx = 74434
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429462432861328 × 217)
    floor (0.429462432861328 × 131072)
    floor (56290.5)     		ty = 56290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74434 / 56290 ti = "17/74434/56290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74434/56290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74434 ÷ 217
    74434 ÷ 131072     		x = 0.567886352539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56290 ÷ 217
    56290 ÷ 131072     		y = 0.429458618164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567886352539062 × 2 - 1) × π
    0.135772705078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42654253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429458618164062 × 2 - 1) × π
    0.141082763671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.443224573887039
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42654253} λ = 0.42654253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.443224573887039))-π/2
    2×atan(1.55772211877522)-π/2
    2×1.00009176688355-π/2
    2.00018353376709-1.57079632675     		φ = 0.42938721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42654253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.439087°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42938721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.602075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74434 KachelY 56290 0.42654253 0.42938721 24.439087 24.602075
    Oben rechts KachelX + 1 74435 KachelY 56290 0.42659047 0.42938721 24.441834 24.602075
    Unten links KachelX 74434 KachelY + 1 56291 0.42654253 0.42934362 24.439087 24.599577
    Unten rechts KachelX + 1 74435 KachelY + 1 56291 0.42659047 0.42934362 24.441834 24.599577
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42938721-0.42934362) × R
    4.35900000000378e-05 × 6371000     		dl = 277.711890000241m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42938721-0.42934362) × R
    4.35900000000378e-05 × 6371000     		dr = 277.711890000241m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42654253-0.42659047) × cos(0.42938721) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.909221033254339 × 6371000     		do = 277.699506905411m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42654253-0.42659047) × cos(0.42934362) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.909239179505548 × 6371000     		du = 277.705049237614m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42938721)-sin(0.42934362))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909221033254339-0.909239179505548)×R²
    abs(0.42659047-0.42654253)×1.81462512085506e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.81462512085506e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.81462512085506e-05×40589641000000     		ar = 77121.2245128076m²