Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74433 / 61275
↖ ↑ ↗
← N 11.622645°
E 24.436341°		 ← 299.10 m → N 11.622645°
E 24.439087°		 →
↑
299.12 m
↓
↑
299.12 m
↓
N 11.619955°
E 24.436341°		 ← 299.10 m →
89 467 m²		 N 11.619955°
E 24.439087°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74433 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61275 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567882537841797 y=0.467494964599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567882537841797 × 217)
    floor (0.567882537841797 × 131072)
    floor (74433.5)     		tx = 74433
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467494964599609 × 217)
    floor (0.467494964599609 × 131072)
    floor (61275.5)     		ty = 61275
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74433 / 61275 ti = "17/74433/61275"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74433/61275.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74433 ÷ 217
    74433 ÷ 131072     		x = 0.567878723144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61275 ÷ 217
    61275 ÷ 131072     		y = 0.467491149902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567878723144531 × 2 - 1) × π
    0.135757446289062 × 3.1415926535     		Λ = 0.42649460
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467491149902344 × 2 - 1) × π
    0.0650177001953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.204259129281059
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42649460} λ = 0.42649460}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.204259129281059))-π/2
    2×atan(1.22661596439036)-π/2
    2×0.886824875430114-π/2
    1.77364975086023-1.57079632675     		φ = 0.20285342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42649460} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.436341°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20285342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.622645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74433 KachelY 61275 0.42649460 0.20285342 24.436341 11.622645
    Oben rechts KachelX + 1 74434 KachelY 61275 0.42654253 0.20285342 24.439087 11.622645
    Unten links KachelX 74433 KachelY + 1 61276 0.42649460 0.20280647 24.436341 11.619955
    Unten rechts KachelX + 1 74434 KachelY + 1 61276 0.42654253 0.20280647 24.439087 11.619955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20285342-0.20280647) × R
    4.69500000000178e-05 × 6371000     		dl = 299.118450000113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20285342-0.20280647) × R
    4.69500000000178e-05 × 6371000     		dr = 299.118450000113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42649460-0.42654253) × cos(0.20285342) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.979495701717508 × 6371000     		do = 299.100795852569m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42649460-0.42654253) × cos(0.20280647) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.979505159422509 × 6371000     		du = 299.103683876568m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20285342)-sin(0.20280647))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979495701717508-0.979505159422509)×R²
    abs(0.42654253-0.42649460)×9.45770500127008e-06×R²
    4.79299999999738e-05×9.45770500127008e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×9.45770500127008e-06×40589641000000     		ar = 89466.9983962818m²