Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74433 / 55697
↖ ↑ ↗
← N 26.074053°
E 24.436341°		 ← 274.28 m → N 26.074053°
E 24.439087°		 →
↑
274.34 m
↓
↑
274.34 m
↓
N 26.071586°
E 24.436341°		 ← 274.29 m →
75 247 m²		 N 26.071586°
E 24.439087°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74433 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55697 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567882537841797 y=0.424938201904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567882537841797 × 217)
    floor (0.567882537841797 × 131072)
    floor (74433.5)     		tx = 74433
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424938201904297 × 217)
    floor (0.424938201904297 × 131072)
    floor (55697.5)     		ty = 55697
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74433 / 55697 ti = "17/74433/55697"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74433/55697.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74433 ÷ 217
    74433 ÷ 131072     		x = 0.567878723144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55697 ÷ 217
    55697 ÷ 131072     		y = 0.424934387207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567878723144531 × 2 - 1) × π
    0.135757446289062 × 3.1415926535     		Λ = 0.42649460
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424934387207031 × 2 - 1) × π
    0.150131225585938 × 3.1415926535     		Φ = 0.471651155361732
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42649460} λ = 0.42649460}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.471651155361732))-π/2
    2×atan(1.60263821445245)-π/2
    2×1.01293720513312-π/2
    2.02587441026624-1.57079632675     		φ = 0.45507808
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42649460} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.436341°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45507808 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.074053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74433 KachelY 55697 0.42649460 0.45507808 24.436341 26.074053
    Oben rechts KachelX + 1 74434 KachelY 55697 0.42654253 0.45507808 24.439087 26.074053
    Unten links KachelX 74433 KachelY + 1 55698 0.42649460 0.45503502 24.436341 26.071586
    Unten rechts KachelX + 1 74434 KachelY + 1 55698 0.42654253 0.45503502 24.439087 26.071586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45507808-0.45503502) × R
    4.30599999999837e-05 × 6371000     		dl = 274.335259999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45507808-0.45503502) × R
    4.30599999999837e-05 × 6371000     		dr = 274.335259999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42649460-0.42654253) × cos(0.45507808) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.898226712223016 × 6371000     		do = 274.284332244496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42649460-0.42654253) × cos(0.45503502) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.898245637657521 × 6371000     		du = 274.290111353595m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45507808)-sin(0.45503502))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.898226712223016-0.898245637657521)×R²
    abs(0.42654253-0.42649460)×1.89254345049905e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.89254345049905e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.89254345049905e-05×40589641000000     		ar = 75246.6563184796m²