Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74433 / 55494
↖ ↑ ↗
← N 26.573789°
E 24.436341°		 ← 273.10 m → N 26.573789°
E 24.439087°		 →
↑
273.12 m
↓
↑
273.12 m
↓
N 26.571333°
E 24.436341°		 ← 273.11 m →
74 592 m²		 N 26.571333°
E 24.439087°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74433 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55494 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567882537841797 y=0.423389434814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567882537841797 × 217)
    floor (0.567882537841797 × 131072)
    floor (74433.5)     		tx = 74433
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423389434814453 × 217)
    floor (0.423389434814453 × 131072)
    floor (55494.5)     		ty = 55494
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74433 / 55494 ti = "17/74433/55494"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74433/55494.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74433 ÷ 217
    74433 ÷ 131072     		x = 0.567878723144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55494 ÷ 217
    55494 ÷ 131072     		y = 0.423385620117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567878723144531 × 2 - 1) × π
    0.135757446289062 × 3.1415926535     		Λ = 0.42649460
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423385620117188 × 2 - 1) × π
    0.153228759765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.481382345984604
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42649460} λ = 0.42649460}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.481382345984604))-π/2
    2×atan(1.61830992092778)-π/2
    2×1.01729822426587-π/2
    2.03459644853174-1.57079632675     		φ = 0.46380012
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42649460} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.436341°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46380012 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.573789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74433 KachelY 55494 0.42649460 0.46380012 24.436341 26.573789
    Oben rechts KachelX + 1 74434 KachelY 55494 0.42654253 0.46380012 24.439087 26.573789
    Unten links KachelX 74433 KachelY + 1 55495 0.42649460 0.46375725 24.436341 26.571333
    Unten rechts KachelX + 1 74434 KachelY + 1 55495 0.42654253 0.46375725 24.439087 26.571333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46380012-0.46375725) × R
    4.28699999999727e-05 × 6371000     		dl = 273.124769999826m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46380012-0.46375725) × R
    4.28699999999727e-05 × 6371000     		dr = 273.124769999826m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42649460-0.42654253) × cos(0.46380012) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.894358975605866 × 6371000     		do = 273.103272339579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42649460-0.42654253) × cos(0.46375725) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.894378152678529 × 6371000     		du = 273.109128289417m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46380012)-sin(0.46375725))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894358975605866-0.894378152678529)×R²
    abs(0.42654253-0.42649460)×1.91770726633012e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.91770726633012e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.91770726633012e-05×40589641000000     		ar = 74592.0681579059m²