Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74432 / 55232
↖ ↑ ↗
← N 27.215556°
E 24.433594°		 ← 271.61 m → N 27.215556°
E 24.436341°		 →
↑
271.60 m
↓
↑
271.60 m
↓
N 27.213113°
E 24.433594°		 ← 271.62 m →
73 770 m²		 N 27.213113°
E 24.436341°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567874908447266 y=0.421390533447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567874908447266 × 217)
    floor (0.567874908447266 × 131072)
    floor (74432.5)     		tx = 74432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421390533447266 × 217)
    floor (0.421390533447266 × 131072)
    floor (55232.5)     		ty = 55232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74432 / 55232 ti = "17/74432/55232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74432/55232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74432 ÷ 217
    74432 ÷ 131072     		x = 0.56787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55232 ÷ 217
    55232 ÷ 131072     		y = 0.42138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56787109375 × 2 - 1) × π
    0.1357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42644666
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42138671875 × 2 - 1) × π
    0.1572265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.493941813685059
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42644666} λ = 0.42644666}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.493941813685059))-π/2
    2×atan(1.63876320442764)-π/2
    2×1.02289869519575-π/2
    2.0457973903915-1.57079632675     		φ = 0.47500106
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42644666} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.433594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47500106 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.215556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74432 KachelY 55232 0.42644666 0.47500106 24.433594 27.215556
    Oben rechts KachelX + 1 74433 KachelY 55232 0.42649460 0.47500106 24.436341 27.215556
    Unten links KachelX 74432 KachelY + 1 55233 0.42644666 0.47495843 24.433594 27.213113
    Unten rechts KachelX + 1 74433 KachelY + 1 55233 0.42649460 0.47495843 24.436341 27.213113
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47500106-0.47495843) × R
    4.2629999999988e-05 × 6371000     		dl = 271.595729999923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47500106-0.47495843) × R
    4.2629999999988e-05 × 6371000     		dr = 271.595729999923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42644666-0.42649460) × cos(0.47500106) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.889292236843915 × 6371000     		do = 271.612739514444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42644666-0.42649460) × cos(0.47495843) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.889311732414034 × 6371000     		du = 271.618693963375m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47500106)-sin(0.47495843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889292236843915-0.889311732414034)×R²
    abs(0.42649460-0.42644666)×1.94955701195987e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.94955701195987e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.94955701195987e-05×40589641000000     		ar = 73769.6688782858m²