Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74431 / 54033
↖ ↑ ↗
← N 30.104742°
E 24.430847°		 ← 264.23 m → N 30.104742°
E 24.433594°		 →
↑
264.27 m
↓
↑
264.27 m
↓
N 30.102365°
E 24.430847°		 ← 264.23 m →
69 828 m²		 N 30.102365°
E 24.433594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54033 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567867279052734 y=0.412242889404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567867279052734 × 217)
    floor (0.567867279052734 × 131072)
    floor (74431.5)     		tx = 74431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412242889404297 × 217)
    floor (0.412242889404297 × 131072)
    floor (54033.5)     		ty = 54033
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74431 / 54033 ti = "17/74431/54033"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74431/54033.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74431 ÷ 217
    74431 ÷ 131072     		x = 0.567863464355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54033 ÷ 217
    54033 ÷ 131072     		y = 0.412239074707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567863464355469 × 2 - 1) × π
    0.135726928710938 × 3.1415926535     		Λ = 0.42639872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.412239074707031 × 2 - 1) × π
    0.175521850585938 × 3.1415926535     		Φ = 0.551418156329506
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42639872} λ = 0.42639872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.551418156329506))-π/2
    2×atan(1.73571278536049)-π/2
    2×1.04811159600432-π/2
    2.09622319200865-1.57079632675     		φ = 0.52542687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42639872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.430847°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52542687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.104742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74431 KachelY 54033 0.42639872 0.52542687 24.430847 30.104742
    Oben rechts KachelX + 1 74432 KachelY 54033 0.42644666 0.52542687 24.433594 30.104742
    Unten links KachelX 74431 KachelY + 1 54034 0.42639872 0.52538539 24.430847 30.102365
    Unten rechts KachelX + 1 74432 KachelY + 1 54034 0.42644666 0.52538539 24.433594 30.102365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52542687-0.52538539) × R
    4.14800000000382e-05 × 6371000     		dl = 264.269080000243m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52542687-0.52538539) × R
    4.14800000000382e-05 × 6371000     		dr = 264.269080000243m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42639872-0.42644666) × cos(0.52542687) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.865109909995337 × 6371000     		do = 264.226834441486m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42639872-0.42644666) × cos(0.52538539) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.865130714886538 × 6371000     		du = 264.233188790777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52542687)-sin(0.52538539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.865109909995337-0.865130714886538)×R²
    abs(0.42644666-0.42639872)×2.08048912001546e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.08048912001546e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.08048912001546e-05×40589641000000     		ar = 69827.8220881821m²