Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74430 / 53327
↖ ↑ ↗
← N 31.767872°
E 24.428101°		 ← 259.62 m → N 31.767872°
E 24.430847°		 →
↑
259.62 m
↓
↑
259.62 m
↓
N 31.765538°
E 24.428101°		 ← 259.62 m →
67 402 m²		 N 31.765538°
E 24.430847°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74430 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53327 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567859649658203 y=0.406856536865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567859649658203 × 217)
    floor (0.567859649658203 × 131072)
    floor (74430.5)     		tx = 74430
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406856536865234 × 217)
    floor (0.406856536865234 × 131072)
    floor (53327.5)     		ty = 53327
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74430 / 53327 ti = "17/74430/53327"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74430/53327.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74430 ÷ 217
    74430 ÷ 131072     		x = 0.567855834960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53327 ÷ 217
    53327 ÷ 131072     		y = 0.406852722167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567855834960938 × 2 - 1) × π
    0.135711669921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42635079
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406852722167969 × 2 - 1) × π
    0.186294555664062 × 3.1415926535     		Φ = 0.585261607461266
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42635079} λ = 0.42635079}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.585261607461266))-π/2
    2×atan(1.79546063010322)-π/2
    2×1.06262514956729-π/2
    2.12525029913458-1.57079632675     		φ = 0.55445397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42635079} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.428101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55445397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.767872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74430 KachelY 53327 0.42635079 0.55445397 24.428101 31.767872
    Oben rechts KachelX + 1 74431 KachelY 53327 0.42639872 0.55445397 24.430847 31.767872
    Unten links KachelX 74430 KachelY + 1 53328 0.42635079 0.55441322 24.428101 31.765538
    Unten rechts KachelX + 1 74431 KachelY + 1 53328 0.42639872 0.55441322 24.430847 31.765538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55445397-0.55441322) × R
    4.07499999999228e-05 × 6371000     		dl = 259.618249999508m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55445397-0.55441322) × R
    4.07499999999228e-05 × 6371000     		dr = 259.618249999508m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42635079-0.42639872) × cos(0.55445397) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.850188040407366 × 6371000     		do = 259.615145900674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42635079-0.42639872) × cos(0.55441322) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.850209493726849 × 6371000     		du = 259.621696929862m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55445397)-sin(0.55441322))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.850188040407366-0.850209493726849)×R²
    abs(0.42639872-0.42635079)×2.14533194832223e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.14533194832223e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.14533194832223e-05×40589641000000     		ar = 67401.6802448444m²