Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74429 / 53344
↖ ↑ ↗
← N 31.728167°
E 24.425354°		 ← 259.78 m → N 31.728167°
E 24.428101°		 →
↑
259.75 m
↓
↑
259.75 m
↓
N 31.725831°
E 24.425354°		 ← 259.79 m →
67 478 m²		 N 31.725831°
E 24.428101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53344 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567852020263672 y=0.406986236572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567852020263672 × 217)
    floor (0.567852020263672 × 131072)
    floor (74429.5)     		tx = 74429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406986236572266 × 217)
    floor (0.406986236572266 × 131072)
    floor (53344.5)     		ty = 53344
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74429 / 53344 ti = "17/74429/53344"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74429/53344.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74429 ÷ 217
    74429 ÷ 131072     		x = 0.567848205566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53344 ÷ 217
    53344 ÷ 131072     		y = 0.406982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567848205566406 × 2 - 1) × π
    0.135696411132812 × 3.1415926535     		Λ = 0.42630285
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406982421875 × 2 - 1) × π
    0.18603515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.584446680167725
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42630285} λ = 0.42630285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.584446680167725))-π/2
    2×atan(1.79399805625788)-π/2
    2×1.06227865455095-π/2
    2.1245573091019-1.57079632675     		φ = 0.55376098
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42630285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.425354°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55376098 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.728167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74429 KachelY 53344 0.42630285 0.55376098 24.425354 31.728167
    Oben rechts KachelX + 1 74430 KachelY 53344 0.42635079 0.55376098 24.428101 31.728167
    Unten links KachelX 74429 KachelY + 1 53345 0.42630285 0.55372021 24.425354 31.725831
    Unten rechts KachelX + 1 74430 KachelY + 1 53345 0.42635079 0.55372021 24.428101 31.725831
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55376098-0.55372021) × R
    4.07699999999123e-05 × 6371000     		dl = 259.745669999441m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55376098-0.55372021) × R
    4.07699999999123e-05 × 6371000     		dr = 259.745669999441m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42630285-0.42635079) × cos(0.55376098) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.850552681019615 × 6371000     		do = 259.78068200923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42630285-0.42635079) × cos(0.55372021) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.850574120841998 × 6371000     		du = 259.787230282846m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55376098)-sin(0.55372021))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.850552681019615-0.850574120841998)×R²
    abs(0.42635079-0.42630285)×2.14398223832291e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.14398223832291e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.14398223832291e-05×40589641000000     		ar = 67477.7577535184m²