Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74429 / 53325
↖ ↑ ↗
← N 31.772543°
E 24.425354°		 ← 259.66 m → N 31.772543°
E 24.428101°		 →
↑
259.62 m
↓
↑
259.62 m
↓
N 31.770208°
E 24.425354°		 ← 259.66 m →
67 412 m²		 N 31.770208°
E 24.428101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53325 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567852020263672 y=0.406841278076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567852020263672 × 217)
    floor (0.567852020263672 × 131072)
    floor (74429.5)     		tx = 74429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406841278076172 × 217)
    floor (0.406841278076172 × 131072)
    floor (53325.5)     		ty = 53325
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74429 / 53325 ti = "17/74429/53325"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74429/53325.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74429 ÷ 217
    74429 ÷ 131072     		x = 0.567848205566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53325 ÷ 217
    53325 ÷ 131072     		y = 0.406837463378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567848205566406 × 2 - 1) × π
    0.135696411132812 × 3.1415926535     		Λ = 0.42630285
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406837463378906 × 2 - 1) × π
    0.186325073242188 × 3.1415926535     		Φ = 0.585357481260506
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42630285} λ = 0.42630285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.585357481260506))-π/2
    2×atan(1.79563277598722)-π/2
    2×1.06266590391738-π/2
    2.12533180783476-1.57079632675     		φ = 0.55453548
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42630285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.425354°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55453548 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.772543°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74429 KachelY 53325 0.42630285 0.55453548 24.425354 31.772543
    Oben rechts KachelX + 1 74430 KachelY 53325 0.42635079 0.55453548 24.428101 31.772543
    Unten links KachelX 74429 KachelY + 1 53326 0.42630285 0.55449473 24.425354 31.770208
    Unten rechts KachelX + 1 74430 KachelY + 1 53326 0.42635079 0.55449473 24.428101 31.770208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55453548-0.55449473) × R
    4.07499999999228e-05 × 6371000     		dl = 259.618249999508m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55453548-0.55449473) × R
    4.07499999999228e-05 × 6371000     		dr = 259.618249999508m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42630285-0.42635079) × cos(0.55453548) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.850145124267579 × 6371000     		do = 259.656203686647m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42630285-0.42635079) × cos(0.55449473) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.850166580410954 × 6371000     		du = 259.662756945115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55453548)-sin(0.55449473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.850145124267579-0.850166580410954)×R²
    abs(0.42635079-0.42630285)×2.14561433746763e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.14561433746763e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.14561433746763e-05×40589641000000     		ar = 67412.3398848381m²