Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74428 / 53372
↖ ↑ ↗
← N 31.662733°
E 24.422607°		 ← 259.96 m → N 31.662733°
E 24.425354°		 →
↑
259.94 m
↓
↑
259.94 m
↓
N 31.660395°
E 24.422607°		 ← 259.97 m →
67 575 m²		 N 31.660395°
E 24.425354°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74428 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53372 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567844390869141 y=0.407199859619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567844390869141 × 217)
    floor (0.567844390869141 × 131072)
    floor (74428.5)     		tx = 74428
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407199859619141 × 217)
    floor (0.407199859619141 × 131072)
    floor (53372.5)     		ty = 53372
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74428 / 53372 ti = "17/74428/53372"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74428/53372.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74428 ÷ 217
    74428 ÷ 131072     		x = 0.567840576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53372 ÷ 217
    53372 ÷ 131072     		y = 0.407196044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567840576171875 × 2 - 1) × π
    0.13568115234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42625491
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.407196044921875 × 2 - 1) × π
    0.18560791015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.583104446978363
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42625491} λ = 0.42625491}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.583104446978363))-π/2
    2×atan(1.79159170782676)-π/2
    2×1.06170763314812-π/2
    2.12341526629624-1.57079632675     		φ = 0.55261894
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42625491} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.422607°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55261894 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.662733°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74428 KachelY 53372 0.42625491 0.55261894 24.422607 31.662733
    Oben rechts KachelX + 1 74429 KachelY 53372 0.42630285 0.55261894 24.425354 31.662733
    Unten links KachelX 74428 KachelY + 1 53373 0.42625491 0.55257814 24.422607 31.660395
    Unten rechts KachelX + 1 74429 KachelY + 1 53373 0.42630285 0.55257814 24.425354 31.660395
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55261894-0.55257814) × R
    4.0799999999952e-05 × 6371000     		dl = 259.936799999694m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55261894-0.55257814) × R
    4.0799999999952e-05 × 6371000     		dr = 259.936799999694m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42625491-0.42630285) × cos(0.55261894) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.851152713467159 × 6371000     		do = 259.963947363845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42625491-0.42630285) × cos(0.55257814) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.851174129419014 × 6371000     		du = 259.970488346789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55261894)-sin(0.55257814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.851152713467159-0.851174129419014)×R²
    abs(0.42630285-0.42625491)×2.14159518555634e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.14159518555634e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.14159518555634e-05×40589641000000     		ar = 67575.0467235842m²