Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74426 / 77530
↖ ↑ ↗
← S 31.264465°
E 24.417114°		 ← 261.02 m → S 31.264465°
E 24.419861°		 →
↑
261.08 m
↓
↑
261.08 m
↓
S 31.266813°
E 24.417114°		 ← 261.01 m →
68 147 m²		 S 31.266813°
E 24.419861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74426 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77530 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567829132080078 y=0.591510772705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567829132080078 × 217)
    floor (0.567829132080078 × 131072)
    floor (74426.5)     		tx = 74426
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591510772705078 × 217)
    floor (0.591510772705078 × 131072)
    floor (77530.5)     		ty = 77530
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74426 / 77530 ti = "17/74426/77530"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74426/77530.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74426 ÷ 217
    74426 ÷ 131072     		x = 0.567825317382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77530 ÷ 217
    77530 ÷ 131072     		y = 0.591506958007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567825317382812 × 2 - 1) × π
    0.135650634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42615904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591506958007812 × 2 - 1) × π
    -0.183013916015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.574955174042953
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42615904} λ = 0.42615904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.574955174042953))-π/2
    2×atan(0.562730093156583)-π/2
    2×0.512564231992349-π/2
    1.0251284639847-1.57079632675     		φ = -0.54566786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42615904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.417114°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54566786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.264465°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74426 KachelY 77530 0.42615904 -0.54566786 24.417114 -31.264465
    Oben rechts KachelX + 1 74427 KachelY 77530 0.42620697 -0.54566786 24.419861 -31.264465
    Unten links KachelX 74426 KachelY + 1 77531 0.42615904 -0.54570884 24.417114 -31.266813
    Unten rechts KachelX + 1 74427 KachelY + 1 77531 0.42620697 -0.54570884 24.419861 -31.266813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54566786--0.54570884) × R
    4.09799999999683e-05 × 6371000     		dl = 261.083579999798m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54566786--0.54570884) × R
    4.09799999999683e-05 × 6371000     		dr = 261.083579999798m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42615904-0.42620697) × cos(-0.54566786) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.854780869391155 × 6371000     		do = 261.017621482608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42615904-0.42620697) × cos(-0.54570884) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.854759600500914 × 6371000     		du = 261.011126771108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54566786)-sin(-0.54570884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.854780869391155-0.854759600500914)×R²
    abs(0.42620697-0.42615904)×2.12688902414548e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.12688902414548e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.12688902414548e-05×40589641000000     		ar = 68146.5672380148m²