Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74425 / 77227
↖ ↑ ↗
← S 30.550435°
E 24.414368°		 ← 263.03 m → S 30.550435°
E 24.417114°		 →
↑
262.99 m
↓
↑
262.99 m
↓
S 30.552800°
E 24.414368°		 ← 263.02 m →
69 174 m²		 S 30.552800°
E 24.417114°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74425 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567821502685547 y=0.589199066162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567821502685547 × 217)
    floor (0.567821502685547 × 131072)
    floor (74425.5)     		tx = 74425
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589199066162109 × 217)
    floor (0.589199066162109 × 131072)
    floor (77227.5)     		ty = 77227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74425 / 77227 ti = "17/74425/77227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74425/77227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74425 ÷ 217
    74425 ÷ 131072     		x = 0.567817687988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77227 ÷ 217
    77227 ÷ 131072     		y = 0.589195251464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567817687988281 × 2 - 1) × π
    0.135635375976562 × 3.1415926535     		Λ = 0.42611110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589195251464844 × 2 - 1) × π
    -0.178390502929688 × 3.1415926535     		Φ = -0.560430293458076
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42611110} λ = 0.42611110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.560430293458076))-π/2
    2×atan(0.570963329198245)-π/2
    2×0.51879532289216-π/2
    1.03759064578432-1.57079632675     		φ = -0.53320568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42611110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.414368°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53320568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.550435°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74425 KachelY 77227 0.42611110 -0.53320568 24.414368 -30.550435
    Oben rechts KachelX + 1 74426 KachelY 77227 0.42615904 -0.53320568 24.417114 -30.550435
    Unten links KachelX 74425 KachelY + 1 77228 0.42611110 -0.53324696 24.414368 -30.552800
    Unten rechts KachelX + 1 74426 KachelY + 1 77228 0.42615904 -0.53324696 24.417114 -30.552800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53320568--0.53324696) × R
    4.12800000000324e-05 × 6371000     		dl = 262.994880000206m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53320568--0.53324696) × R
    4.12800000000324e-05 × 6371000     		dr = 262.994880000206m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42611110-0.42615904) × cos(-0.53320568) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.861182061904436 × 6371000     		do = 263.027168531716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42611110-0.42615904) × cos(-0.53324696) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.861161078686129 × 6371000     		du = 263.020759716737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53320568)-sin(-0.53324696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.861182061904436-0.861161078686129)×R²
    abs(0.42615904-0.42611110)×2.09832183067915e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.09832183067915e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.09832183067915e-05×40589641000000     		ar = 69173.9558918681m²