Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74425 / 77194
↖ ↑ ↗
← S 30.472348°
E 24.414368°		 ← 263.24 m → S 30.472348°
E 24.417114°		 →
↑
263.25 m
↓
↑
263.25 m
↓
S 30.474716°
E 24.414368°		 ← 263.23 m →
69 297 m²		 S 30.474716°
E 24.417114°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74425 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77194 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567821502685547 y=0.588947296142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567821502685547 × 217)
    floor (0.567821502685547 × 131072)
    floor (74425.5)     		tx = 74425
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588947296142578 × 217)
    floor (0.588947296142578 × 131072)
    floor (77194.5)     		ty = 77194
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74425 / 77194 ti = "17/74425/77194"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74425/77194.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74425 ÷ 217
    74425 ÷ 131072     		x = 0.567817687988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77194 ÷ 217
    77194 ÷ 131072     		y = 0.588943481445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567817687988281 × 2 - 1) × π
    0.135635375976562 × 3.1415926535     		Λ = 0.42611110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588943481445312 × 2 - 1) × π
    -0.177886962890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.558848375770615
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42611110} λ = 0.42611110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.558848375770615))-π/2
    2×atan(0.571867260971921)-π/2
    2×0.519476756176744-π/2
    1.03895351235349-1.57079632675     		φ = -0.53184281
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42611110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.414368°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53184281 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.472348°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74425 KachelY 77194 0.42611110 -0.53184281 24.414368 -30.472348
    Oben rechts KachelX + 1 74426 KachelY 77194 0.42615904 -0.53184281 24.417114 -30.472348
    Unten links KachelX 74425 KachelY + 1 77195 0.42611110 -0.53188413 24.414368 -30.474716
    Unten rechts KachelX + 1 74426 KachelY + 1 77195 0.42615904 -0.53188413 24.417114 -30.474716
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53184281--0.53188413) × R
    4.13200000000113e-05 × 6371000     		dl = 263.249720000072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53184281--0.53188413) × R
    4.13200000000113e-05 × 6371000     		dr = 263.249720000072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42611110-0.42615904) × cos(-0.53184281) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.861874004121675 × 6371000     		do = 263.238505495453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42611110-0.42615904) × cos(-0.53188413) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.861853049085405 × 6371000     		du = 263.232105287994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53184281)-sin(-0.53188413))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.861874004121675-0.861853049085405)×R²
    abs(0.42615904-0.42611110)×2.09550362700872e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.09550362700872e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.09550362700872e-05×40589641000000     		ar = 69296.6204482872m²