Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74424 / 77543
↖ ↑ ↗
← S 31.294981°
E 24.411621°		 ← 260.99 m → S 31.294981°
E 24.414368°		 →
↑
260.96 m
↓
↑
260.96 m
↓
S 31.297328°
E 24.411621°		 ← 260.98 m →
68 105 m²		 S 31.297328°
E 24.414368°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77543 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567813873291016 y=0.591609954833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567813873291016 × 217)
    floor (0.567813873291016 × 131072)
    floor (74424.5)     		tx = 74424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591609954833984 × 217)
    floor (0.591609954833984 × 131072)
    floor (77543.5)     		ty = 77543
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74424 / 77543 ti = "17/74424/77543"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74424/77543.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74424 ÷ 217
    74424 ÷ 131072     		x = 0.56781005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77543 ÷ 217
    77543 ÷ 131072     		y = 0.591606140136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56781005859375 × 2 - 1) × π
    0.1356201171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42606316
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591606140136719 × 2 - 1) × π
    -0.183212280273438 × 3.1415926535     		Φ = -0.575578353738014
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42606316} λ = 0.42606316}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.575578353738014))-π/2
    2×atan(0.562379520434975)-π/2
    2×0.512297934030456-π/2
    1.02459586806091-1.57079632675     		φ = -0.54620046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42606316} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.411621°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54620046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.294981°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74424 KachelY 77543 0.42606316 -0.54620046 24.411621 -31.294981
    Oben rechts KachelX + 1 74425 KachelY 77543 0.42611110 -0.54620046 24.414368 -31.294981
    Unten links KachelX 74424 KachelY + 1 77544 0.42606316 -0.54624142 24.411621 -31.297328
    Unten rechts KachelX + 1 74425 KachelY + 1 77544 0.42611110 -0.54624142 24.414368 -31.297328
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54620046--0.54624142) × R
    4.09599999999788e-05 × 6371000     		dl = 260.956159999865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54620046--0.54624142) × R
    4.09599999999788e-05 × 6371000     		dr = 260.956159999865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42606316-0.42611110) × cos(-0.54620046) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.854504334585384 × 6371000     		do = 260.987618724079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42606316-0.42611110) × cos(-0.54624142) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.854483057431574 × 6371000     		du = 260.981120133632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54620046)-sin(-0.54624142))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.854504334585384-0.854483057431574)×R²
    abs(0.42611110-0.42606316)×2.12771538092849e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.12771538092849e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.12771538092849e-05×40589641000000     		ar = 68105.4788756095m²