Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74424 / 77536
↖ ↑ ↗
← S 31.278551°
E 24.411621°		 ← 261.03 m → S 31.278551°
E 24.414368°		 →
↑
261.02 m
↓
↑
261.02 m
↓
S 31.280898°
E 24.411621°		 ← 261.03 m →
68 134 m²		 S 31.280898°
E 24.414368°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77536 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567813873291016 y=0.591556549072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567813873291016 × 217)
    floor (0.567813873291016 × 131072)
    floor (74424.5)     		tx = 74424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591556549072266 × 217)
    floor (0.591556549072266 × 131072)
    floor (77536.5)     		ty = 77536
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74424 / 77536 ti = "17/74424/77536"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74424/77536.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74424 ÷ 217
    74424 ÷ 131072     		x = 0.56781005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77536 ÷ 217
    77536 ÷ 131072     		y = 0.591552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56781005859375 × 2 - 1) × π
    0.1356201171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42606316
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591552734375 × 2 - 1) × π
    -0.18310546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.575242795440674
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42606316} λ = 0.42606316}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.575242795440674))-π/2
    2×atan(0.562568263214643)-π/2
    2×0.512441314533916-π/2
    1.02488262906783-1.57079632675     		φ = -0.54591370
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42606316} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.411621°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54591370 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.278551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74424 KachelY 77536 0.42606316 -0.54591370 24.411621 -31.278551
    Oben rechts KachelX + 1 74425 KachelY 77536 0.42611110 -0.54591370 24.414368 -31.278551
    Unten links KachelX 74424 KachelY + 1 77537 0.42606316 -0.54595467 24.411621 -31.280898
    Unten rechts KachelX + 1 74425 KachelY + 1 77537 0.42611110 -0.54595467 24.414368 -31.280898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54591370--0.54595467) × R
    4.0970000000029e-05 × 6371000     		dl = 261.019870000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54591370--0.54595467) × R
    4.0970000000029e-05 × 6371000     		dr = 261.019870000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42606316-0.42611110) × cos(-0.54591370) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.854653255286648 × 6371000     		do = 261.033102939465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42606316-0.42611110) × cos(-0.54595467) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.854631982977989 × 6371000     		du = 261.026605828851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54591370)-sin(-0.54595467))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.854653255286648-0.854631982977989)×R²
    abs(0.42611110-0.42606316)×2.12723086591149e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.12723086591149e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.12723086591149e-05×40589641000000     		ar = 68133.9786669783m²