Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74423 / 77595
↖ ↑ ↗
← S 31.416944°
E 24.408875°		 ← 260.59 m → S 31.416944°
E 24.411621°		 →
↑
260.64 m
↓
↑
260.64 m
↓
S 31.419288°
E 24.408875°		 ← 260.59 m →
67 920 m²		 S 31.419288°
E 24.411621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74423 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77595 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567806243896484 y=0.592006683349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567806243896484 × 217)
    floor (0.567806243896484 × 131072)
    floor (74423.5)     		tx = 74423
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592006683349609 × 217)
    floor (0.592006683349609 × 131072)
    floor (77595.5)     		ty = 77595
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74423 / 77595 ti = "17/74423/77595"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74423/77595.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74423 ÷ 217
    74423 ÷ 131072     		x = 0.567802429199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77595 ÷ 217
    77595 ÷ 131072     		y = 0.592002868652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567802429199219 × 2 - 1) × π
    0.135604858398438 × 3.1415926535     		Λ = 0.42601523
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.592002868652344 × 2 - 1) × π
    -0.184005737304688 × 3.1415926535     		Φ = -0.578071072518257
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42601523} λ = 0.42601523}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.578071072518257))-π/2
    2×atan(0.560979412205783)-π/2
    2×0.511233604543649-π/2
    1.0224672090873-1.57079632675     		φ = -0.54832912
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42601523} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.408875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54832912 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.416944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74423 KachelY 77595 0.42601523 -0.54832912 24.408875 -31.416944
    Oben rechts KachelX + 1 74424 KachelY 77595 0.42606316 -0.54832912 24.411621 -31.416944
    Unten links KachelX 74423 KachelY + 1 77596 0.42601523 -0.54837003 24.408875 -31.419288
    Unten rechts KachelX + 1 74424 KachelY + 1 77596 0.42606316 -0.54837003 24.411621 -31.419288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54832912--0.54837003) × R
    4.09099999999496e-05 × 6371000     		dl = 260.637609999679m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54832912--0.54837003) × R
    4.09099999999496e-05 × 6371000     		dr = 260.637609999679m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42601523-0.42606316) × cos(-0.54832912) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.853396679234464 × 6371000     		do = 260.594942366152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42601523-0.42606316) × cos(-0.54837003) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.853375353690533 × 6371000     		du = 260.588430354767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54832912)-sin(-0.54837003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853396679234464-0.853375353690533)×R²
    abs(0.42606316-0.42601523)×2.13255439307503e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.13255439307503e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.13255439307503e-05×40589641000000     		ar = 67919.9943282015m²