Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74423 / 77542
↖ ↑ ↗
← S 31.292634°
E 24.408875°		 ← 260.94 m → S 31.292634°
E 24.411621°		 →
↑
260.96 m
↓
↑
260.96 m
↓
S 31.294981°
E 24.408875°		 ← 260.93 m →
68 093 m²		 S 31.294981°
E 24.411621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74423 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567806243896484 y=0.591602325439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567806243896484 × 217)
    floor (0.567806243896484 × 131072)
    floor (74423.5)     		tx = 74423
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591602325439453 × 217)
    floor (0.591602325439453 × 131072)
    floor (77542.5)     		ty = 77542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74423 / 77542 ti = "17/74423/77542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74423/77542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74423 ÷ 217
    74423 ÷ 131072     		x = 0.567802429199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77542 ÷ 217
    77542 ÷ 131072     		y = 0.591598510742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567802429199219 × 2 - 1) × π
    0.135604858398438 × 3.1415926535     		Λ = 0.42601523
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591598510742188 × 2 - 1) × π
    -0.183197021484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.575530416838394
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42601523} λ = 0.42601523}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.575530416838394))-π/2
    2×atan(0.562406479811764)-π/2
    2×0.51231841542972-π/2
    1.02463683085944-1.57079632675     		φ = -0.54615950
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42601523} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.408875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54615950 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.292634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74423 KachelY 77542 0.42601523 -0.54615950 24.408875 -31.292634
    Oben rechts KachelX + 1 74424 KachelY 77542 0.42606316 -0.54615950 24.411621 -31.292634
    Unten links KachelX 74423 KachelY + 1 77543 0.42601523 -0.54620046 24.408875 -31.294981
    Unten rechts KachelX + 1 74424 KachelY + 1 77543 0.42606316 -0.54620046 24.411621 -31.294981
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54615950--0.54620046) × R
    4.09599999999788e-05 × 6371000     		dl = 260.956159999865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54615950--0.54620046) × R
    4.09599999999788e-05 × 6371000     		dr = 260.956159999865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42601523-0.42606316) × cos(-0.54615950) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.854525610305573 × 6371000     		do = 260.939675049756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42601523-0.42606316) × cos(-0.54620046) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.854504334585384 × 6371000     		du = 260.933178252649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54615950)-sin(-0.54620046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.854525610305573-0.854504334585384)×R²
    abs(0.42606316-0.42601523)×2.12757201889513e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.12757201889513e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.12757201889513e-05×40589641000000     		ar = 68092.9679125028m²