Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74423 / 61290
↖ ↑ ↗
← N 11.582288°
E 24.408875°		 ← 299.14 m → N 11.582288°
E 24.411621°		 →
↑
299.18 m
↓
↑
299.18 m
↓
N 11.579597°
E 24.408875°		 ← 299.15 m →
89 499 m²		 N 11.579597°
E 24.411621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74423 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567806243896484 y=0.467609405517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567806243896484 × 217)
    floor (0.567806243896484 × 131072)
    floor (74423.5)     		tx = 74423
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467609405517578 × 217)
    floor (0.467609405517578 × 131072)
    floor (61290.5)     		ty = 61290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74423 / 61290 ti = "17/74423/61290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74423/61290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74423 ÷ 217
    74423 ÷ 131072     		x = 0.567802429199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61290 ÷ 217
    61290 ÷ 131072     		y = 0.467605590820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567802429199219 × 2 - 1) × π
    0.135604858398438 × 3.1415926535     		Λ = 0.42601523
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467605590820312 × 2 - 1) × π
    0.064788818359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.203540075786758
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42601523} λ = 0.42601523}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.203540075786758))-π/2
    2×atan(1.2257342789225)-π/2
    2×0.886472695047498-π/2
    1.772945390095-1.57079632675     		φ = 0.20214906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42601523} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.408875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20214906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.582288°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74423 KachelY 61290 0.42601523 0.20214906 24.408875 11.582288
    Oben rechts KachelX + 1 74424 KachelY 61290 0.42606316 0.20214906 24.411621 11.582288
    Unten links KachelX 74423 KachelY + 1 61291 0.42601523 0.20210210 24.408875 11.579597
    Unten rechts KachelX + 1 74424 KachelY + 1 61291 0.42606316 0.20210210 24.411621 11.579597
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20214906-0.20210210) × R
    4.69599999999848e-05 × 6371000     		dl = 299.182159999903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20214906-0.20210210) × R
    4.69599999999848e-05 × 6371000     		dr = 299.182159999903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42601523-0.42606316) × cos(0.20214906) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.979637362660121 × 6371000     		do = 299.144053725578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42601523-0.42606316) × cos(0.20210210) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.979646789978283 × 6371000     		du = 299.146932470589m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20214906)-sin(0.20210210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979637362660121-0.979646789978283)×R²
    abs(0.42606316-0.42601523)×9.42731816144793e-06×R²
    4.79299999999738e-05×9.42731816144793e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×9.42731816144793e-06×40589641000000     		ar = 89498.9947957396m²