Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74423 / 53586
↖ ↑ ↗
← N 31.161109°
E 24.408875°		 ← 261.30 m → N 31.161109°
E 24.411621°		 →
↑
261.34 m
↓
↑
261.34 m
↓
N 31.158759°
E 24.408875°		 ← 261.31 m →
68 289 m²		 N 31.158759°
E 24.411621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74423 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53586 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567806243896484 y=0.408832550048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567806243896484 × 217)
    floor (0.567806243896484 × 131072)
    floor (74423.5)     		tx = 74423
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408832550048828 × 217)
    floor (0.408832550048828 × 131072)
    floor (53586.5)     		ty = 53586
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74423 / 53586 ti = "17/74423/53586"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74423/53586.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74423 ÷ 217
    74423 ÷ 131072     		x = 0.567802429199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53586 ÷ 217
    53586 ÷ 131072     		y = 0.408828735351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567802429199219 × 2 - 1) × π
    0.135604858398438 × 3.1415926535     		Λ = 0.42601523
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.408828735351562 × 2 - 1) × π
    0.182342529296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.572845950459671
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42601523} λ = 0.42601523}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.572845950459671))-π/2
    2×atan(1.77330661964084)-π/2
    2×1.05733013972992-π/2
    2.11466027945983-1.57079632675     		φ = 0.54386395
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42601523} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.408875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54386395 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.161109°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74423 KachelY 53586 0.42601523 0.54386395 24.408875 31.161109
    Oben rechts KachelX + 1 74424 KachelY 53586 0.42606316 0.54386395 24.411621 31.161109
    Unten links KachelX 74423 KachelY + 1 53587 0.42601523 0.54382293 24.408875 31.158759
    Unten rechts KachelX + 1 74424 KachelY + 1 53587 0.42606316 0.54382293 24.411621 31.158759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54386395-0.54382293) × R
    4.10199999999472e-05 × 6371000     		dl = 261.338419999664m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54386395-0.54382293) × R
    4.10199999999472e-05 × 6371000     		dr = 261.338419999664m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42601523-0.42606316) × cos(0.54386395) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.855715687707878 × 6371000     		do = 261.303079501181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42601523-0.42606316) × cos(0.54382293) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.855736912634708 × 6371000     		du = 261.309560787924m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54386395)-sin(0.54382293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.855715687707878-0.855736912634708)×R²
    abs(0.42606316-0.42601523)×2.12249268304321e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.12249268304321e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.12249268304321e-05×40589641000000     		ar = 68289.3808521742m²