Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74421 / 53365
↖ ↑ ↗
← N 31.679096°
E 24.403381°		 ← 259.92 m → N 31.679096°
E 24.406128°		 →
↑
259.94 m
↓
↑
259.94 m
↓
N 31.676758°
E 24.403381°		 ← 259.92 m →
67 563 m²		 N 31.676758°
E 24.406128°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74421 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53365 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567790985107422 y=0.407146453857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567790985107422 × 217)
    floor (0.567790985107422 × 131072)
    floor (74421.5)     		tx = 74421
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407146453857422 × 217)
    floor (0.407146453857422 × 131072)
    floor (53365.5)     		ty = 53365
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74421 / 53365 ti = "17/74421/53365"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74421/53365.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74421 ÷ 217
    74421 ÷ 131072     		x = 0.567787170410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53365 ÷ 217
    53365 ÷ 131072     		y = 0.407142639160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567787170410156 × 2 - 1) × π
    0.135574340820312 × 3.1415926535     		Λ = 0.42591935
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.407142639160156 × 2 - 1) × π
    0.185714721679688 × 3.1415926535     		Φ = 0.583440005275703
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42591935} λ = 0.42591935}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.583440005275703))-π/2
    2×atan(1.7921929921671)-π/2
    2×1.06185042624768-π/2
    2.12370085249535-1.57079632675     		φ = 0.55290453
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42591935} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.403381°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55290453 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.679096°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74421 KachelY 53365 0.42591935 0.55290453 24.403381 31.679096
    Oben rechts KachelX + 1 74422 KachelY 53365 0.42596729 0.55290453 24.406128 31.679096
    Unten links KachelX 74421 KachelY + 1 53366 0.42591935 0.55286373 24.403381 31.676758
    Unten rechts KachelX + 1 74422 KachelY + 1 53366 0.42596729 0.55286373 24.406128 31.676758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55290453-0.55286373) × R
    4.0799999999952e-05 × 6371000     		dl = 259.936799999694m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55290453-0.55286373) × R
    4.0799999999952e-05 × 6371000     		dr = 259.936799999694m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42591935-0.42596729) × cos(0.55290453) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.851002767385618 × 6371000     		do = 259.918149970931m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42591935-0.42596729) × cos(0.55286373) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.851024193254418 × 6371000     		du = 259.924693982764m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55290453)-sin(0.55286373))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.851002767385618-0.851024193254418)×R²
    abs(0.42596729-0.42591935)×2.14258687996072e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.14258687996072e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.14258687996072e-05×40589641000000     		ar = 67563.1426893813m²