Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74420 / 61353
↖ ↑ ↗
← N 11.412726°
E 24.400635°		 ← 299.32 m → N 11.412726°
E 24.403381°		 →
↑
299.37 m
↓
↑
299.37 m
↓
N 11.410033°
E 24.400635°		 ← 299.33 m →
89 610 m²		 N 11.410033°
E 24.403381°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61353 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567783355712891 y=0.468090057373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567783355712891 × 217)
    floor (0.567783355712891 × 131072)
    floor (74420.5)     		tx = 74420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.468090057373047 × 217)
    floor (0.468090057373047 × 131072)
    floor (61353.5)     		ty = 61353
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74420 / 61353 ti = "17/74420/61353"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74420/61353.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74420 ÷ 217
    74420 ÷ 131072     		x = 0.567779541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61353 ÷ 217
    61353 ÷ 131072     		y = 0.468086242675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567779541015625 × 2 - 1) × π
    0.13555908203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42587142
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.468086242675781 × 2 - 1) × π
    0.0638275146484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.200520051110695
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42587142} λ = 0.42587142}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.200520051110695))-π/2
    2×atan(1.22203811521591)-π/2
    2×0.884992984140167-π/2
    1.76998596828033-1.57079632675     		φ = 0.19918964
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42587142} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.400635°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19918964 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.412726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74420 KachelY 61353 0.42587142 0.19918964 24.400635 11.412726
    Oben rechts KachelX + 1 74421 KachelY 61353 0.42591935 0.19918964 24.403381 11.412726
    Unten links KachelX 74420 KachelY + 1 61354 0.42587142 0.19914265 24.400635 11.410033
    Unten rechts KachelX + 1 74421 KachelY + 1 61354 0.42591935 0.19914265 24.403381 11.410033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19918964-0.19914265) × R
    4.69899999999968e-05 × 6371000     		dl = 299.373289999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19918964-0.19914265) × R
    4.69899999999968e-05 × 6371000     		dr = 299.373289999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42587142-0.42591935) × cos(0.19918964) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.98022724970585 × 6371000     		do = 299.324182831332m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42587142-0.42591935) × cos(0.19914265) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.980236546772664 × 6371000     		du = 299.327021802527m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19918964)-sin(0.19914265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98022724970585-0.980236546772664)×R²
    abs(0.42591935-0.42587142)×9.29706681396247e-06×R²
    4.79299999999738e-05×9.29706681396247e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×9.29706681396247e-06×40589641000000     		ar = 89610.0903633018m²