Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74420 / 55676
↖ ↑ ↗
← N 26.125850°
E 24.400635°		 ← 274.16 m → N 26.125850°
E 24.403381°		 →
↑
274.21 m
↓
↑
274.21 m
↓
N 26.123384°
E 24.400635°		 ← 274.17 m →
75 178 m²		 N 26.123384°
E 24.403381°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55676 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567783355712891 y=0.424777984619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567783355712891 × 217)
    floor (0.567783355712891 × 131072)
    floor (74420.5)     		tx = 74420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424777984619141 × 217)
    floor (0.424777984619141 × 131072)
    floor (55676.5)     		ty = 55676
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74420 / 55676 ti = "17/74420/55676"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74420/55676.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74420 ÷ 217
    74420 ÷ 131072     		x = 0.567779541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55676 ÷ 217
    55676 ÷ 131072     		y = 0.424774169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567779541015625 × 2 - 1) × π
    0.13555908203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42587142
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424774169921875 × 2 - 1) × π
    0.15045166015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.472657830253754
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42587142} λ = 0.42587142}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.472657830253754))-π/2
    2×atan(1.60425236242874)-π/2
    2×1.01338921620283-π/2
    2.02677843240566-1.57079632675     		φ = 0.45598211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42587142} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.400635°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45598211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.125850°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74420 KachelY 55676 0.42587142 0.45598211 24.400635 26.125850
    Oben rechts KachelX + 1 74421 KachelY 55676 0.42591935 0.45598211 24.403381 26.125850
    Unten links KachelX 74420 KachelY + 1 55677 0.42587142 0.45593907 24.400635 26.123384
    Unten rechts KachelX + 1 74421 KachelY + 1 55677 0.42591935 0.45593907 24.403381 26.123384
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45598211-0.45593907) × R
    4.30399999999942e-05 × 6371000     		dl = 274.207839999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45598211-0.45593907) × R
    4.30399999999942e-05 × 6371000     		dr = 274.207839999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42587142-0.42591935) × cos(0.45598211) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.897828994710597 × 6371000     		do = 274.162884417538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42587142-0.42591935) × cos(0.45593907) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.897847946297368 × 6371000     		du = 274.168671512546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45598211)-sin(0.45593907))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897828994710597-0.897847946297368)×R²
    abs(0.42591935-0.42587142)×1.89515867710099e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.89515867710099e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.89515867710099e-05×40589641000000     		ar = 75178.4057893014m²