Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7442 / 7358
↖ ↑ ↗
← S 80.632740°
E147.041016°		 ← 795.34 m → S 80.632740°
E147.084961°		 →
↑
795.04 m
↓
↑
795.04 m
↓
S 80.639890°
E147.041016°		 ← 794.73 m →
632 083 m²		 S 80.639890°
E147.084961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7442 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7358 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.90850830078125 y=0.89825439453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.90850830078125 × 213)
    floor (0.90850830078125 × 8192)
    floor (7442.5)     		tx = 7442
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.89825439453125 × 213)
    floor (0.89825439453125 × 8192)
    floor (7358.5)     		ty = 7358
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7442 / 7358 ti = "13/7442/7358"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7442/7358.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7442 ÷ 213
    7442 ÷ 8192     		x = 0.908447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7358 ÷ 213
    7358 ÷ 8192     		y = 0.898193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.908447265625 × 2 - 1) × π
    0.81689453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.56634986
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.898193359375 × 2 - 1) × π
    -0.79638671875 × 3.1415926535     		Φ = -2.50192266496997
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.56634986} λ = 2.56634986}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.50192266496997))-π/2
    2×atan(0.0819273282946648)-π/2
    2×0.0817447618519972-π/2
    0.163489523703994-1.57079632675     		φ = -1.40730680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.56634986} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.041016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40730680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.632740°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7442 KachelY 7358 2.56634986 -1.40730680 147.041016 -80.632740
    Oben rechts KachelX + 1 7443 KachelY 7358 2.56711685 -1.40730680 147.084961 -80.632740
    Unten links KachelX 7442 KachelY + 1 7359 2.56634986 -1.40743159 147.041016 -80.639890
    Unten rechts KachelX + 1 7443 KachelY + 1 7359 2.56711685 -1.40743159 147.084961 -80.639890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40730680--1.40743159) × R
    0.000124790000000097 × 6371000     		dl = 795.037090000617m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40730680--1.40743159) × R
    0.000124790000000097 × 6371000     		dr = 795.037090000617m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.56634986-2.56711685) × cos(-1.40730680) × R
    0.000766990000000245 × 0.162762185689055 × 6371000     		do = 795.336328235553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.56634986-2.56711685) × cos(-1.40743159) × R
    0.000766990000000245 × 0.162639058455692 × 6371000     		du = 794.734667835909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40730680)-sin(-1.40743159))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162762185689055-0.162639058455692)×R²
    abs(2.56711685-2.56634986)×0.000123127233362885×R²
    0.000766990000000245×0.000123127233362885×6371000²
    0.000766990000000245×0.000123127233362885×40589641000000     		ar = 632082.709627884m²