Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74419 / 55677
↖ ↑ ↗
← N 26.123384°
E 24.397888°		 ← 274.23 m → N 26.123384°
E 24.400635°		 →
↑
274.21 m
↓
↑
274.21 m
↓
N 26.120918°
E 24.397888°		 ← 274.23 m →
75 196 m²		 N 26.120918°
E 24.400635°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74419 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55677 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567775726318359 y=0.424785614013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567775726318359 × 217)
    floor (0.567775726318359 × 131072)
    floor (74419.5)     		tx = 74419
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424785614013672 × 217)
    floor (0.424785614013672 × 131072)
    floor (55677.5)     		ty = 55677
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74419 / 55677 ti = "17/74419/55677"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74419/55677.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74419 ÷ 217
    74419 ÷ 131072     		x = 0.567771911621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55677 ÷ 217
    55677 ÷ 131072     		y = 0.424781799316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567771911621094 × 2 - 1) × π
    0.135543823242188 × 3.1415926535     		Λ = 0.42582348
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424781799316406 × 2 - 1) × π
    0.150436401367188 × 3.1415926535     		Φ = 0.472609893354134
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42582348} λ = 0.42582348}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.472609893354134))-π/2
    2×atan(1.60417546138749)-π/2
    2×1.01336769640647-π/2
    2.02673539281293-1.57079632675     		φ = 0.45593907
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42582348} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.397888°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45593907 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.123384°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74419 KachelY 55677 0.42582348 0.45593907 24.397888 26.123384
    Oben rechts KachelX + 1 74420 KachelY 55677 0.42587142 0.45593907 24.400635 26.123384
    Unten links KachelX 74419 KachelY + 1 55678 0.42582348 0.45589603 24.397888 26.120918
    Unten rechts KachelX + 1 74420 KachelY + 1 55678 0.42587142 0.45589603 24.400635 26.120918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45593907-0.45589603) × R
    4.30399999999942e-05 × 6371000     		dl = 274.207839999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45593907-0.45589603) × R
    4.30399999999942e-05 × 6371000     		dr = 274.207839999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42582348-0.42587142) × cos(0.45593907) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.897847946297368 × 6371000     		do = 274.225873405492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42582348-0.42587142) × cos(0.45589603) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.897866896220929 × 6371000     		du = 274.231661199918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45593907)-sin(0.45589603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897847946297368-0.897866896220929)×R²
    abs(0.42587142-0.42582348)×1.89499235602186e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.89499235602186e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.89499235602186e-05×40589641000000     		ar = 75195.6779595221m²