Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74419 / 54001
↖ ↑ ↗
← N 30.180748°
E 24.397888°		 ← 264.02 m → N 30.180748°
E 24.400635°		 →
↑
264.01 m
↓
↑
264.01 m
↓
N 30.178373°
E 24.397888°		 ← 264.03 m →
69 707 m²		 N 30.178373°
E 24.400635°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74419 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567775726318359 y=0.411998748779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567775726318359 × 217)
    floor (0.567775726318359 × 131072)
    floor (74419.5)     		tx = 74419
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.411998748779297 × 217)
    floor (0.411998748779297 × 131072)
    floor (54001.5)     		ty = 54001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74419 / 54001 ti = "17/74419/54001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74419/54001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74419 ÷ 217
    74419 ÷ 131072     		x = 0.567771911621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54001 ÷ 217
    54001 ÷ 131072     		y = 0.411994934082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567771911621094 × 2 - 1) × π
    0.135543823242188 × 3.1415926535     		Λ = 0.42582348
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.411994934082031 × 2 - 1) × π
    0.176010131835938 × 3.1415926535     		Φ = 0.552952137117348
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42582348} λ = 0.42582348}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.552952137117348))-π/2
    2×atan(1.73837737862137)-π/2
    2×1.04877487160147-π/2
    2.09754974320294-1.57079632675     		φ = 0.52675342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42582348} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.397888°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52675342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.180748°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74419 KachelY 54001 0.42582348 0.52675342 24.397888 30.180748
    Oben rechts KachelX + 1 74420 KachelY 54001 0.42587142 0.52675342 24.400635 30.180748
    Unten links KachelX 74419 KachelY + 1 54002 0.42582348 0.52671198 24.397888 30.178373
    Unten rechts KachelX + 1 74420 KachelY + 1 54002 0.42587142 0.52671198 24.400635 30.178373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52675342-0.52671198) × R
    4.14400000000592e-05 × 6371000     		dl = 264.014240000377m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52675342-0.52671198) × R
    4.14400000000592e-05 × 6371000     		dr = 264.014240000377m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42582348-0.42587142) × cos(0.52675342) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.864443774955645 × 6371000     		do = 264.023379654354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42582348-0.42587142) × cos(0.52671198) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.864464607324278 × 6371000     		du = 264.02974239596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52675342)-sin(0.52671198))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864443774955645-0.864464607324278)×R²
    abs(0.42587142-0.42582348)×2.08323686335943e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.08323686335943e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.08323686335943e-05×40589641000000     		ar = 69706.7718587513m²