Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74418 / 61309
↖ ↑ ↗
← N 11.531161°
E 24.395141°		 ← 299.26 m → N 11.531161°
E 24.397888°		 →
↑
299.25 m
↓
↑
299.25 m
↓
N 11.528470°
E 24.395141°		 ← 299.26 m →
89 553 m²		 N 11.528470°
E 24.397888°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61309 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567768096923828 y=0.467754364013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567768096923828 × 217)
    floor (0.567768096923828 × 131072)
    floor (74418.5)     		tx = 74418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467754364013672 × 217)
    floor (0.467754364013672 × 131072)
    floor (61309.5)     		ty = 61309
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74418 / 61309 ti = "17/74418/61309"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74418/61309.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74418 ÷ 217
    74418 ÷ 131072     		x = 0.567764282226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61309 ÷ 217
    61309 ÷ 131072     		y = 0.467750549316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567764282226562 × 2 - 1) × π
    0.135528564453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42577554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467750549316406 × 2 - 1) × π
    0.0644989013671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.202629274693977
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42577554} λ = 0.42577554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.202629274693977))-π/2
    2×atan(1.2246183870567)-π/2
    2×0.886026526923497-π/2
    1.77205305384699-1.57079632675     		φ = 0.20125673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42577554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.395141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20125673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.531161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74418 KachelY 61309 0.42577554 0.20125673 24.395141 11.531161
    Oben rechts KachelX + 1 74419 KachelY 61309 0.42582348 0.20125673 24.397888 11.531161
    Unten links KachelX 74418 KachelY + 1 61310 0.42577554 0.20120976 24.395141 11.528470
    Unten rechts KachelX + 1 74419 KachelY + 1 61310 0.42582348 0.20120976 24.397888 11.528470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20125673-0.20120976) × R
    4.69700000000073e-05 × 6371000     		dl = 299.245870000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20125673-0.20120976) × R
    4.69700000000073e-05 × 6371000     		dr = 299.245870000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42577554-0.42582348) × cos(0.20125673) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.979816130254956 × 6371000     		do = 299.26106664686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42577554-0.42582348) × cos(0.20120976) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.979825518517175 × 6371000     		du = 299.263934063796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20125673)-sin(0.20120976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979816130254956-0.979825518517175)×R²
    abs(0.42582348-0.42577554)×9.388262219856e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.388262219856e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.388262219856e-06×40589641000000     		ar = 89553.0672936892m²