Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74418 / 55386
↖ ↑ ↗
← N 26.838776°
E 24.395141°		 ← 272.53 m → N 26.838776°
E 24.397888°		 →
↑
272.49 m
↓
↑
272.49 m
↓
N 26.836326°
E 24.395141°		 ← 272.53 m →
74 261 m²		 N 26.836326°
E 24.397888°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55386 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567768096923828 y=0.422565460205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567768096923828 × 217)
    floor (0.567768096923828 × 131072)
    floor (74418.5)     		tx = 74418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422565460205078 × 217)
    floor (0.422565460205078 × 131072)
    floor (55386.5)     		ty = 55386
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74418 / 55386 ti = "17/74418/55386"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74418/55386.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74418 ÷ 217
    74418 ÷ 131072     		x = 0.567764282226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55386 ÷ 217
    55386 ÷ 131072     		y = 0.422561645507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567764282226562 × 2 - 1) × π
    0.135528564453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42577554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422561645507812 × 2 - 1) × π
    0.154876708984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.48655953114357
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42577554} λ = 0.42577554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.48655953114357))-π/2
    2×atan(1.62670993648866)-π/2
    2×1.01961066815381-π/2
    2.03922133630763-1.57079632675     		φ = 0.46842501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42577554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.395141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46842501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.838776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74418 KachelY 55386 0.42577554 0.46842501 24.395141 26.838776
    Oben rechts KachelX + 1 74419 KachelY 55386 0.42582348 0.46842501 24.397888 26.838776
    Unten links KachelX 74418 KachelY + 1 55387 0.42577554 0.46838224 24.395141 26.836326
    Unten rechts KachelX + 1 74419 KachelY + 1 55387 0.42582348 0.46838224 24.397888 26.836326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46842501-0.46838224) × R
    4.27699999999698e-05 × 6371000     		dl = 272.487669999807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46842501-0.46838224) × R
    4.27699999999698e-05 × 6371000     		dr = 272.487669999807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42577554-0.42582348) × cos(0.46842501) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.892280473462019 × 6371000     		do = 272.525423894509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42577554-0.42582348) × cos(0.46838224) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.892299782510216 × 6371000     		du = 272.531321374843m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46842501)-sin(0.46838224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.892280473462019-0.892299782510216)×R²
    abs(0.42582348-0.42577554)×1.93090481974689e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.93090481974689e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.93090481974689e-05×40589641000000     		ar = 74260.6212794858m²