Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74418 / 53620
↖ ↑ ↗
← N 31.081165°
E 24.395141°		 ← 261.58 m → N 31.081165°
E 24.397888°		 →
↑
261.53 m
↓
↑
261.53 m
↓
N 31.078813°
E 24.395141°		 ← 261.58 m →
68 411 m²		 N 31.078813°
E 24.397888°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53620 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567768096923828 y=0.409091949462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567768096923828 × 217)
    floor (0.567768096923828 × 131072)
    floor (74418.5)     		tx = 74418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.409091949462891 × 217)
    floor (0.409091949462891 × 131072)
    floor (53620.5)     		ty = 53620
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74418 / 53620 ti = "17/74418/53620"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74418/53620.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74418 ÷ 217
    74418 ÷ 131072     		x = 0.567764282226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53620 ÷ 217
    53620 ÷ 131072     		y = 0.409088134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567764282226562 × 2 - 1) × π
    0.135528564453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42577554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.409088134765625 × 2 - 1) × π
    0.18182373046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.571216095872589
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42577554} λ = 0.42577554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.571216095872589))-π/2
    2×atan(1.77041874176231)-π/2
    2×1.05663249974759-π/2
    2.11326499949517-1.57079632675     		φ = 0.54246867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42577554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.395141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54246867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.081165°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74418 KachelY 53620 0.42577554 0.54246867 24.395141 31.081165
    Oben rechts KachelX + 1 74419 KachelY 53620 0.42582348 0.54246867 24.397888 31.081165
    Unten links KachelX 74418 KachelY + 1 53621 0.42577554 0.54242762 24.395141 31.078813
    Unten rechts KachelX + 1 74419 KachelY + 1 53621 0.42582348 0.54242762 24.397888 31.078813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54246867-0.54242762) × R
    4.10499999999869e-05 × 6371000     		dl = 261.529549999917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54246867-0.54242762) × R
    4.10499999999869e-05 × 6371000     		dr = 261.529549999917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42577554-0.42582348) × cos(0.54246867) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.856436836975277 × 6371000     		do = 261.577854696262m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42577554-0.42582348) × cos(0.54242762) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.856458028390994 × 6371000     		du = 261.584327100089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54246867)-sin(0.54242762))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856436836975277-0.856458028390994)×R²
    abs(0.42582348-0.42577554)×2.11914157172144e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.11914157172144e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.11914157172144e-05×40589641000000     		ar = 68411.1850006592m²