Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74416 / 77616
↖ ↑ ↗
← S 31.466154°
E 24.389649°		 ← 260.51 m → S 31.466154°
E 24.392395°		 →
↑
260.45 m
↓
↑
260.45 m
↓
S 31.468496°
E 24.389649°		 ← 260.51 m →
67 849 m²		 S 31.468496°
E 24.392395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567752838134766 y=0.592166900634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567752838134766 × 217)
    floor (0.567752838134766 × 131072)
    floor (74416.5)     		tx = 74416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592166900634766 × 217)
    floor (0.592166900634766 × 131072)
    floor (77616.5)     		ty = 77616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74416 / 77616 ti = "17/74416/77616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74416/77616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74416 ÷ 217
    74416 ÷ 131072     		x = 0.5677490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77616 ÷ 217
    77616 ÷ 131072     		y = 0.5921630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5677490234375 × 2 - 1) × π
    0.135498046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42567967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5921630859375 × 2 - 1) × π
    -0.184326171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.579077747410278
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42567967} λ = 0.42567967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.579077747410278))-π/2
    2×atan(0.560414972467897)-π/2
    2×0.510804170771597-π/2
    1.02160834154319-1.57079632675     		φ = -0.54918799
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42567967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.389649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54918799 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.466154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74416 KachelY 77616 0.42567967 -0.54918799 24.389649 -31.466154
    Oben rechts KachelX + 1 74417 KachelY 77616 0.42572761 -0.54918799 24.392395 -31.466154
    Unten links KachelX 74416 KachelY + 1 77617 0.42567967 -0.54922887 24.389649 -31.468496
    Unten rechts KachelX + 1 74417 KachelY + 1 77617 0.42572761 -0.54922887 24.392395 -31.468496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54918799--0.54922887) × R
    4.08800000000209e-05 × 6371000     		dl = 260.446480000133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54918799--0.54922887) × R
    4.08800000000209e-05 × 6371000     		dr = 260.446480000133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42567967-0.42572761) × cos(-0.54918799) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.852948668209257 × 6371000     		do = 260.512478169656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42567967-0.42572761) × cos(-0.54922887) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.852927328349197 × 6371000     		du = 260.505960427106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54918799)-sin(-0.54922887))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.852948668209257-0.852927328349197)×R²
    abs(0.42572761-0.42567967)×2.13398600594772e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.13398600594772e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.13398600594772e-05×40589641000000     		ar = 67848.7091833633m²