Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74415 / 77599
↖ ↑ ↗
← S 31.426320°
E 24.386902°		 ← 260.62 m → S 31.426320°
E 24.389649°		 →
↑
260.57 m
↓
↑
260.57 m
↓
S 31.428663°
E 24.386902°		 ← 260.62 m →
67 911 m²		 S 31.428663°
E 24.389649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74415 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77599 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567745208740234 y=0.592037200927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567745208740234 × 217)
    floor (0.567745208740234 × 131072)
    floor (74415.5)     		tx = 74415
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592037200927734 × 217)
    floor (0.592037200927734 × 131072)
    floor (77599.5)     		ty = 77599
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74415 / 77599 ti = "17/74415/77599"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74415/77599.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74415 ÷ 217
    74415 ÷ 131072     		x = 0.567741394042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77599 ÷ 217
    77599 ÷ 131072     		y = 0.592033386230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567741394042969 × 2 - 1) × π
    0.135482788085938 × 3.1415926535     		Λ = 0.42563173
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.592033386230469 × 2 - 1) × π
    -0.184066772460938 × 3.1415926535     		Φ = -0.578262820116737
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42563173} λ = 0.42563173}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.578262820116737))-π/2
    2×atan(0.560871856062841)-π/2
    2×0.51115179025077-π/2
    1.02230358050154-1.57079632675     		φ = -0.54849275
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42563173} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.386902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54849275 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.426320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74415 KachelY 77599 0.42563173 -0.54849275 24.386902 -31.426320
    Oben rechts KachelX + 1 74416 KachelY 77599 0.42567967 -0.54849275 24.389649 -31.426320
    Unten links KachelX 74415 KachelY + 1 77600 0.42563173 -0.54853365 24.386902 -31.428663
    Unten rechts KachelX + 1 74416 KachelY + 1 77600 0.42567967 -0.54853365 24.389649 -31.428663
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54849275--0.54853365) × R
    4.09000000000104e-05 × 6371000     		dl = 260.573900000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54849275--0.54853365) × R
    4.09000000000104e-05 × 6371000     		dr = 260.573900000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42563173-0.42567967) × cos(-0.54849275) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.853311373703503 × 6371000     		do = 260.62325776394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42563173-0.42567967) × cos(-0.54853365) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.853290047661569 × 6371000     		du = 260.616744241801m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54849275)-sin(-0.54853365))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853311373703503-0.853290047661569)×R²
    abs(0.42567967-0.42563173)×2.13260419337225e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.13260419337225e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.13260419337225e-05×40589641000000     		ar = 67910.7700888307m²