Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74415 / 77521
↖ ↑ ↗
← S 31.243334°
E 24.386902°		 ← 261.13 m → S 31.243334°
E 24.389649°		 →
↑
261.15 m
↓
↑
261.15 m
↓
S 31.245682°
E 24.386902°		 ← 261.12 m →
68 193 m²		 S 31.245682°
E 24.389649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74415 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77521 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567745208740234 y=0.591442108154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567745208740234 × 217)
    floor (0.567745208740234 × 131072)
    floor (74415.5)     		tx = 74415
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591442108154297 × 217)
    floor (0.591442108154297 × 131072)
    floor (77521.5)     		ty = 77521
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74415 / 77521 ti = "17/74415/77521"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74415/77521.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74415 ÷ 217
    74415 ÷ 131072     		x = 0.567741394042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77521 ÷ 217
    77521 ÷ 131072     		y = 0.591438293457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567741394042969 × 2 - 1) × π
    0.135482788085938 × 3.1415926535     		Λ = 0.42563173
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591438293457031 × 2 - 1) × π
    -0.182876586914062 × 3.1415926535     		Φ = -0.574523741946373
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42563173} λ = 0.42563173}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.574523741946373))-π/2
    2×atan(0.562972925359519)-π/2
    2×0.512748642583937-π/2
    1.02549728516787-1.57079632675     		φ = -0.54529904
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42563173} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.386902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54529904 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.243334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74415 KachelY 77521 0.42563173 -0.54529904 24.386902 -31.243334
    Oben rechts KachelX + 1 74416 KachelY 77521 0.42567967 -0.54529904 24.389649 -31.243334
    Unten links KachelX 74415 KachelY + 1 77522 0.42563173 -0.54534003 24.386902 -31.245682
    Unten rechts KachelX + 1 74416 KachelY + 1 77522 0.42567967 -0.54534003 24.389649 -31.245682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54529904--0.54534003) × R
    4.09900000000185e-05 × 6371000     		dl = 261.147290000118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54529904--0.54534003) × R
    4.09900000000185e-05 × 6371000     		dr = 261.147290000118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42563173-0.42567967) × cos(-0.54529904) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.854972224802212 × 6371000     		do = 261.130524439793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42563173-0.42567967) × cos(-0.54534003) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.854950963645534 × 6371000     		du = 261.124030735281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54529904)-sin(-0.54534003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.854972224802212-0.854950963645534)×R²
    abs(0.42567967-0.42563173)×2.12611566778875e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.12611566778875e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.12611566778875e-05×40589641000000     		ar = 68192.6808965687m²