Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74414 / 77598
↖ ↑ ↗
← S 31.423976°
E 24.384155°		 ← 260.63 m → S 31.423976°
E 24.386902°		 →
↑
260.64 m
↓
↑
260.64 m
↓
S 31.426320°
E 24.384155°		 ← 260.62 m →
67 929 m²		 S 31.426320°
E 24.386902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74414 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567737579345703 y=0.592029571533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567737579345703 × 217)
    floor (0.567737579345703 × 131072)
    floor (74414.5)     		tx = 74414
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592029571533203 × 217)
    floor (0.592029571533203 × 131072)
    floor (77598.5)     		ty = 77598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74414 / 77598 ti = "17/74414/77598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74414/77598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74414 ÷ 217
    74414 ÷ 131072     		x = 0.567733764648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77598 ÷ 217
    77598 ÷ 131072     		y = 0.592025756835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567733764648438 × 2 - 1) × π
    0.135467529296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42558379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.592025756835938 × 2 - 1) × π
    -0.184051513671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.578214883217117
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42558379} λ = 0.42558379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.578214883217117))-π/2
    2×atan(0.560898743165142)-π/2
    2×0.511172243057246-π/2
    1.02234448611449-1.57079632675     		φ = -0.54845184
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42558379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.384155°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54845184 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.423976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74414 KachelY 77598 0.42558379 -0.54845184 24.384155 -31.423976
    Oben rechts KachelX + 1 74415 KachelY 77598 0.42563173 -0.54845184 24.386902 -31.423976
    Unten links KachelX 74414 KachelY + 1 77599 0.42558379 -0.54849275 24.384155 -31.426320
    Unten rechts KachelX + 1 74415 KachelY + 1 77599 0.42563173 -0.54849275 24.386902 -31.426320
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54845184--0.54849275) × R
    4.09099999999496e-05 × 6371000     		dl = 260.637609999679m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54845184--0.54849275) × R
    4.09099999999496e-05 × 6371000     		dr = 260.637609999679m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42558379-0.42563173) × cos(-0.54845184) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.853332703531676 × 6371000     		do = 260.629772442192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42558379-0.42563173) × cos(-0.54849275) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.853311373703503 × 6371000     		du = 260.623257763638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54845184)-sin(-0.54849275))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853332703531676-0.853311373703503)×R²
    abs(0.42563173-0.42558379)×2.13298281733776e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.13298281733776e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.13298281733776e-05×40589641000000     		ar = 67929.0720085191m²