Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74413 / 77223
↖ ↑ ↗
← S 30.540973°
E 24.381409°		 ← 263 m → S 30.540973°
E 24.384155°		 →
↑
263.06 m
↓
↑
263.06 m
↓
S 30.543339°
E 24.381409°		 ← 262.99 m →
69 183 m²		 S 30.543339°
E 24.384155°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74413 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77223 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567729949951172 y=0.589168548583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567729949951172 × 217)
    floor (0.567729949951172 × 131072)
    floor (74413.5)     		tx = 74413
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589168548583984 × 217)
    floor (0.589168548583984 × 131072)
    floor (77223.5)     		ty = 77223
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74413 / 77223 ti = "17/74413/77223"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74413/77223.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74413 ÷ 217
    74413 ÷ 131072     		x = 0.567726135253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77223 ÷ 217
    77223 ÷ 131072     		y = 0.589164733886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567726135253906 × 2 - 1) × π
    0.135452270507812 × 3.1415926535     		Λ = 0.42553586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589164733886719 × 2 - 1) × π
    -0.178329467773438 × 3.1415926535     		Φ = -0.560238545859596
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42553586} λ = 0.42553586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.560238545859596))-π/2
    2×atan(0.571072820542454)-π/2
    2×0.518877891711553-π/2
    1.03775578342311-1.57079632675     		φ = -0.53304054
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42553586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.381409°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53304054 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.540973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74413 KachelY 77223 0.42553586 -0.53304054 24.381409 -30.540973
    Oben rechts KachelX + 1 74414 KachelY 77223 0.42558379 -0.53304054 24.384155 -30.540973
    Unten links KachelX 74413 KachelY + 1 77224 0.42553586 -0.53308183 24.381409 -30.543339
    Unten rechts KachelX + 1 74414 KachelY + 1 77224 0.42558379 -0.53308183 24.384155 -30.543339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53304054--0.53308183) × R
    4.12899999999716e-05 × 6371000     		dl = 263.058589999819m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53304054--0.53308183) × R
    4.12899999999716e-05 × 6371000     		dr = 263.058589999819m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42553586-0.42558379) × cos(-0.53304054) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.861265990265521 × 6371000     		do = 262.997931157601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42553586-0.42558379) × cos(-0.53308183) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.861245007836189 × 6371000     		du = 262.991523920386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53304054)-sin(-0.53308183))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.861265990265521-0.861245007836189)×R²
    abs(0.42558379-0.42553586)×2.0982429331462e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.0982429331462e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.0982429331462e-05×40589641000000     		ar = 69183.0222136139m²