Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74412 / 77602
↖ ↑ ↗
← S 31.433350°
E 24.378662°		 ← 260.60 m → S 31.433350°
E 24.381409°		 →
↑
260.57 m
↓
↑
260.57 m
↓
S 31.435694°
E 24.378662°		 ← 260.60 m →
67 906 m²		 S 31.435694°
E 24.381409°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567722320556641 y=0.592060089111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567722320556641 × 217)
    floor (0.567722320556641 × 131072)
    floor (74412.5)     		tx = 74412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592060089111328 × 217)
    floor (0.592060089111328 × 131072)
    floor (77602.5)     		ty = 77602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74412 / 77602 ti = "17/74412/77602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74412/77602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74412 ÷ 217
    74412 ÷ 131072     		x = 0.567718505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77602 ÷ 217
    77602 ÷ 131072     		y = 0.592056274414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567718505859375 × 2 - 1) × π
    0.13543701171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42548792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.592056274414062 × 2 - 1) × π
    -0.184112548828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.578406630815598
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42548792} λ = 0.42548792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.578406630815598))-π/2
    2×atan(0.560791202488812)-π/2
    2×0.511090434898624-π/2
    1.02218086979725-1.57079632675     		φ = -0.54861546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42548792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.378662°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54861546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.433350°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74412 KachelY 77602 0.42548792 -0.54861546 24.378662 -31.433350
    Oben rechts KachelX + 1 74413 KachelY 77602 0.42553586 -0.54861546 24.381409 -31.433350
    Unten links KachelX 74412 KachelY + 1 77603 0.42548792 -0.54865636 24.378662 -31.435694
    Unten rechts KachelX + 1 74413 KachelY + 1 77603 0.42553586 -0.54865636 24.381409 -31.435694
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54861546--0.54865636) × R
    4.08999999998994e-05 × 6371000     		dl = 260.573899999359m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54861546--0.54865636) × R
    4.08999999998994e-05 × 6371000     		dr = 260.573899999359m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42548792-0.42553586) × cos(-0.54861546) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.853247386080497 × 6371000     		do = 260.603714296531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42548792-0.42553586) × cos(-0.54865636) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.853226055756145 × 6371000     		du = 260.597199466431m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54861546)-sin(-0.54865636))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853247386080497-0.853226055756145)×R²
    abs(0.42553586-0.42548792)×2.13303243519203e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.13303243519203e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.13303243519203e-05×40589641000000     		ar = 67905.6774006741m²