Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74412 / 55418
↖ ↑ ↗
← N 26.760326°
E 24.378662°		 ← 272.71 m → N 26.760326°
E 24.381409°		 →
↑
272.68 m
↓
↑
272.68 m
↓
N 26.757873°
E 24.378662°		 ← 272.72 m →
74 364 m²		 N 26.757873°
E 24.381409°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55418 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567722320556641 y=0.422809600830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567722320556641 × 217)
    floor (0.567722320556641 × 131072)
    floor (74412.5)     		tx = 74412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422809600830078 × 217)
    floor (0.422809600830078 × 131072)
    floor (55418.5)     		ty = 55418
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74412 / 55418 ti = "17/74412/55418"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74412/55418.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74412 ÷ 217
    74412 ÷ 131072     		x = 0.567718505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55418 ÷ 217
    55418 ÷ 131072     		y = 0.422805786132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567718505859375 × 2 - 1) × π
    0.13543701171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42548792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422805786132812 × 2 - 1) × π
    0.154388427734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.485025550355728
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42548792} λ = 0.42548792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.485025550355728))-π/2
    2×atan(1.62421650762362)-π/2
    2×1.01892606077578-π/2
    2.03785212155156-1.57079632675     		φ = 0.46705579
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42548792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.378662°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46705579 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.760326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74412 KachelY 55418 0.42548792 0.46705579 24.378662 26.760326
    Oben rechts KachelX + 1 74413 KachelY 55418 0.42553586 0.46705579 24.381409 26.760326
    Unten links KachelX 74412 KachelY + 1 55419 0.42548792 0.46701299 24.378662 26.757873
    Unten rechts KachelX + 1 74413 KachelY + 1 55419 0.42553586 0.46701299 24.381409 26.757873
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46705579-0.46701299) × R
    4.28000000000095e-05 × 6371000     		dl = 272.678800000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46705579-0.46701299) × R
    4.28000000000095e-05 × 6371000     		dr = 272.678800000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42548792-0.42553586) × cos(0.46705579) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.89289781437898 × 6371000     		do = 272.713975700904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42548792-0.42553586) × cos(0.46701299) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.892917084661846 × 6371000     		du = 272.719861341308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46705579)-sin(0.46701299))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.89289781437898-0.892917084661846)×R²
    abs(0.42553586-0.42548792)×1.92702828651914e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.92702828651914e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.92702828651914e-05×40589641000000     		ar = 74364.1220934262m²