Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74411 / 53402
↖ ↑ ↗
← N 31.592574°
E 24.375915°		 ← 260.16 m → N 31.592574°
E 24.378662°		 →
↑
260.13 m
↓
↑
260.13 m
↓
N 31.590234°
E 24.375915°		 ← 260.17 m →
67 676 m²		 N 31.590234°
E 24.378662°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74411 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53402 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567714691162109 y=0.407428741455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567714691162109 × 217)
    floor (0.567714691162109 × 131072)
    floor (74411.5)     		tx = 74411
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407428741455078 × 217)
    floor (0.407428741455078 × 131072)
    floor (53402.5)     		ty = 53402
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74411 / 53402 ti = "17/74411/53402"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74411/53402.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74411 ÷ 217
    74411 ÷ 131072     		x = 0.567710876464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53402 ÷ 217
    53402 ÷ 131072     		y = 0.407424926757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567710876464844 × 2 - 1) × π
    0.135421752929688 × 3.1415926535     		Λ = 0.42543998
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.407424926757812 × 2 - 1) × π
    0.185150146484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.581666339989761
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42543998} λ = 0.42543998}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.581666339989761))-π/2
    2×atan(1.78901705902496)-π/2
    2×1.06109537790492-π/2
    2.12219075580984-1.57079632675     		φ = 0.55139443
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42543998} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.375915°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55139443 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.592574°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74411 KachelY 53402 0.42543998 0.55139443 24.375915 31.592574
    Oben rechts KachelX + 1 74412 KachelY 53402 0.42548792 0.55139443 24.378662 31.592574
    Unten links KachelX 74411 KachelY + 1 53403 0.42543998 0.55135360 24.375915 31.590234
    Unten rechts KachelX + 1 74412 KachelY + 1 53403 0.42548792 0.55135360 24.378662 31.590234
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55139443-0.55135360) × R
    4.08299999999917e-05 × 6371000     		dl = 260.127929999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55139443-0.55135360) × R
    4.08299999999917e-05 × 6371000     		dr = 260.127929999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42543998-0.42548792) × cos(0.55139443) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.851794842703933 × 6371000     		do = 260.160070161163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42543998-0.42548792) × cos(0.55135360) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.851816231830834 × 6371000     		du = 260.166602951075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55139443)-sin(0.55135360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.851794842703933-0.851816231830834)×R²
    abs(0.42548792-0.42543998)×2.13891269013056e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.13891269013056e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.13891269013056e-05×40589641000000     		ar = 67675.7502095817m²