Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74410 / 78326
↖ ↑ ↗
← S 33.114550°
E 24.373169°		 ← 255.77 m → S 33.114550°
E 24.375915°		 →
↑
255.80 m
↓
↑
255.80 m
↓
S 33.116850°
E 24.373169°		 ← 255.76 m →
65 423 m²		 S 33.116850°
E 24.375915°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74410 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78326 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567707061767578 y=0.597583770751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567707061767578 × 217)
    floor (0.567707061767578 × 131072)
    floor (74410.5)     		tx = 74410
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597583770751953 × 217)
    floor (0.597583770751953 × 131072)
    floor (78326.5)     		ty = 78326
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74410 / 78326 ti = "17/74410/78326"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74410/78326.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74410 ÷ 217
    74410 ÷ 131072     		x = 0.567703247070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78326 ÷ 217
    78326 ÷ 131072     		y = 0.597579956054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567703247070312 × 2 - 1) × π
    0.135406494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42539205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597579956054688 × 2 - 1) × π
    -0.195159912109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.613112946140518
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42539205} λ = 0.42539205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.613112946140518))-π/2
    2×atan(0.541662077006802)-π/2
    2×0.496419204882515-π/2
    0.99283840976503-1.57079632675     		φ = -0.57795792
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42539205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.373169°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57795792 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.114550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74410 KachelY 78326 0.42539205 -0.57795792 24.373169 -33.114550
    Oben rechts KachelX + 1 74411 KachelY 78326 0.42543998 -0.57795792 24.375915 -33.114550
    Unten links KachelX 74410 KachelY + 1 78327 0.42539205 -0.57799807 24.373169 -33.116850
    Unten rechts KachelX + 1 74411 KachelY + 1 78327 0.42543998 -0.57799807 24.375915 -33.116850
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57795792--0.57799807) × R
    4.01500000000166e-05 × 6371000     		dl = 255.795650000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57795792--0.57799807) × R
    4.01500000000166e-05 × 6371000     		dr = 255.795650000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42539205-0.42543998) × cos(-0.57795792) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.83758001379627 × 6371000     		do = 255.765133300117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42539205-0.42543998) × cos(-0.57799807) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.837558078587109 × 6371000     		du = 255.758435120119m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57795792)-sin(-0.57799807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.83758001379627-0.837558078587109)×R²
    abs(0.42543998-0.42539205)×2.19352091608283e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.19352091608283e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.19352091608283e-05×40589641000000     		ar = 65422.7518459617m²