Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74410 / 55429
↖ ↑ ↗
← N 26.733346°
E 24.373169°		 ← 272.72 m → N 26.733346°
E 24.375915°		 →
↑
272.74 m
↓
↑
272.74 m
↓
N 26.730893°
E 24.373169°		 ← 272.73 m →
74 384 m²		 N 26.730893°
E 24.375915°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74410 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55429 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567707061767578 y=0.422893524169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567707061767578 × 217)
    floor (0.567707061767578 × 131072)
    floor (74410.5)     		tx = 74410
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422893524169922 × 217)
    floor (0.422893524169922 × 131072)
    floor (55429.5)     		ty = 55429
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74410 / 55429 ti = "17/74410/55429"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74410/55429.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74410 ÷ 217
    74410 ÷ 131072     		x = 0.567703247070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55429 ÷ 217
    55429 ÷ 131072     		y = 0.422889709472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567703247070312 × 2 - 1) × π
    0.135406494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42539205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422889709472656 × 2 - 1) × π
    0.154220581054688 × 3.1415926535     		Φ = 0.484498244459908
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42539205} λ = 0.42539205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.484498244459908))-π/2
    2×atan(1.6233602744513)-π/2
    2×1.01869061769524-π/2
    2.03738123539048-1.57079632675     		φ = 0.46658491
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42539205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.373169°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46658491 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.733346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74410 KachelY 55429 0.42539205 0.46658491 24.373169 26.733346
    Oben rechts KachelX + 1 74411 KachelY 55429 0.42543998 0.46658491 24.375915 26.733346
    Unten links KachelX 74410 KachelY + 1 55430 0.42539205 0.46654210 24.373169 26.730893
    Unten rechts KachelX + 1 74411 KachelY + 1 55430 0.42543998 0.46654210 24.375915 26.730893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46658491-0.46654210) × R
    4.28100000000042e-05 × 6371000     		dl = 272.742510000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46658491-0.46654210) × R
    4.28100000000042e-05 × 6371000     		dr = 272.742510000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42539205-0.42543998) × cos(0.46658491) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.893109733509318 × 6371000     		do = 272.721801237016m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42539205-0.42543998) × cos(0.46654210) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.893128990292697 × 6371000     		du = 272.727681527479m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46658491)-sin(0.46654210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.893109733509318-0.893128990292697)×R²
    abs(0.42543998-0.42539205)×1.92567833789958e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.92567833789958e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.92567833789958e-05×40589641000000     		ar = 74383.6305150483m²