Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74410 / 53394
↖ ↑ ↗
← N 31.611288°
E 24.373169°		 ← 260.05 m → N 31.611288°
E 24.375915°		 →
↑
260.13 m
↓
↑
260.13 m
↓
N 31.608949°
E 24.373169°		 ← 260.06 m →
67 648 m²		 N 31.608949°
E 24.375915°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74410 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53394 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567707061767578 y=0.407367706298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567707061767578 × 217)
    floor (0.567707061767578 × 131072)
    floor (74410.5)     		tx = 74410
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407367706298828 × 217)
    floor (0.407367706298828 × 131072)
    floor (53394.5)     		ty = 53394
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74410 / 53394 ti = "17/74410/53394"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74410/53394.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74410 ÷ 217
    74410 ÷ 131072     		x = 0.567703247070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53394 ÷ 217
    53394 ÷ 131072     		y = 0.407363891601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567703247070312 × 2 - 1) × π
    0.135406494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42539205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.407363891601562 × 2 - 1) × π
    0.185272216796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.582049835186722
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42539205} λ = 0.42539205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.582049835186722))-π/2
    2×atan(1.78970327004528)-π/2
    2×1.06125869111193-π/2
    2.12251738222387-1.57079632675     		φ = 0.55172106
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42539205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.373169°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55172106 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.611288°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74410 KachelY 53394 0.42539205 0.55172106 24.373169 31.611288
    Oben rechts KachelX + 1 74411 KachelY 53394 0.42543998 0.55172106 24.375915 31.611288
    Unten links KachelX 74410 KachelY + 1 53395 0.42539205 0.55168023 24.373169 31.608949
    Unten rechts KachelX + 1 74411 KachelY + 1 53395 0.42543998 0.55168023 24.375915 31.608949
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55172106-0.55168023) × R
    4.08299999999917e-05 × 6371000     		dl = 260.127929999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55172106-0.55168023) × R
    4.08299999999917e-05 × 6371000     		dr = 260.127929999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42539205-0.42543998) × cos(0.55172106) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.851623683812617 × 6371000     		do = 260.053536884957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42539205-0.42543998) × cos(0.55168023) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.851645084298314 × 6371000     		du = 260.060071780712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55172106)-sin(0.55168023))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.851623683812617-0.851645084298314)×R²
    abs(0.42543998-0.42539205)×2.14004856967653e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.14004856967653e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.14004856967653e-05×40589641000000     		ar = 67648.0382027532m²