Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7441 / 5489
↖ ↑ ↗
← N 75.885412°
W 98.250732°		 ← 297.90 m → N 75.885412°
W 98.239746°		 →
↑
297.91 m
↓
↑
297.91 m
↓
N 75.882733°
W 98.250732°		 ← 297.95 m →
88 754 m²		 N 75.882733°
W 98.239746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7441 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5489 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.227096557617188 y=0.167526245117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.227096557617188 × 215)
    floor (0.227096557617188 × 32768)
    floor (7441.5)     		tx = 7441
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.167526245117188 × 215)
    floor (0.167526245117188 × 32768)
    floor (5489.5)     		ty = 5489
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7441 / 5489 ti = "15/7441/5489"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7441/5489.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7441 ÷ 215
    7441 ÷ 32768     		x = 0.227081298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5489 ÷ 215
    5489 ÷ 32768     		y = 0.167510986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.227081298828125 × 2 - 1) × π
    -0.54583740234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.71479877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.167510986328125 × 2 - 1) × π
    0.66497802734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.08909008544205
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71479877} λ = -1.71479877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08909008544205))-π/2
    2×atan(8.07756192821287)-π/2
    2×1.44762330887891-π/2
    2.89524661775782-1.57079632675     		φ = 1.32445029
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71479877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.250732°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32445029 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.885412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7441 KachelY 5489 -1.71479877 1.32445029 -98.250732 75.885412
    Oben rechts KachelX + 1 7442 KachelY 5489 -1.71460703 1.32445029 -98.239746 75.885412
    Unten links KachelX 7441 KachelY + 1 5490 -1.71479877 1.32440353 -98.250732 75.882733
    Unten rechts KachelX + 1 7442 KachelY + 1 5490 -1.71460703 1.32440353 -98.239746 75.882733
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32445029-1.32440353) × R
    4.67599999998125e-05 × 6371000     		dl = 297.907959998805m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32445029-1.32440353) × R
    4.67599999998125e-05 × 6371000     		dr = 297.907959998805m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71479877--1.71460703) × cos(1.32445029) × R
    0.000191739999999996 × 0.243861945196197 × 6371000     		do = 297.895787388489m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71479877--1.71460703) × cos(1.32440353) × R
    0.000191739999999996 × 0.243907293243144 × 6371000     		du = 297.951183453425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32445029)-sin(1.32440353))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.243861945196197-0.243907293243144)×R²
    abs(-1.71460703--1.71479877)×4.53480469464473e-05×R²
    0.000191739999999996×4.53480469464473e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.53480469464473e-05×40589641000000     		ar = 88753.7777934336m²