Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74409 / 77225
↖ ↑ ↗
← S 30.545704°
E 24.370422°		 ← 263.04 m → S 30.545704°
E 24.373169°		 →
↑
263.06 m
↓
↑
263.06 m
↓
S 30.548070°
E 24.370422°		 ← 263.03 m →
69 194 m²		 S 30.548070°
E 24.373169°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77225 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567699432373047 y=0.589183807373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567699432373047 × 217)
    floor (0.567699432373047 × 131072)
    floor (74409.5)     		tx = 74409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589183807373047 × 217)
    floor (0.589183807373047 × 131072)
    floor (77225.5)     		ty = 77225
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74409 / 77225 ti = "17/74409/77225"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74409/77225.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74409 ÷ 217
    74409 ÷ 131072     		x = 0.567695617675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77225 ÷ 217
    77225 ÷ 131072     		y = 0.589179992675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567695617675781 × 2 - 1) × π
    0.135391235351562 × 3.1415926535     		Λ = 0.42534411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589179992675781 × 2 - 1) × π
    -0.178359985351562 × 3.1415926535     		Φ = -0.560334419658836
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42534411} λ = 0.42534411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.560334419658836))-π/2
    2×atan(0.571018072246012)-π/2
    2×0.518836606296055-π/2
    1.03767321259211-1.57079632675     		φ = -0.53312311
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42534411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.370422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53312311 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.545704°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74409 KachelY 77225 0.42534411 -0.53312311 24.370422 -30.545704
    Oben rechts KachelX + 1 74410 KachelY 77225 0.42539205 -0.53312311 24.373169 -30.545704
    Unten links KachelX 74409 KachelY + 1 77226 0.42534411 -0.53316440 24.370422 -30.548070
    Unten rechts KachelX + 1 74410 KachelY + 1 77226 0.42539205 -0.53316440 24.373169 -30.548070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53312311--0.53316440) × R
    4.12899999999716e-05 × 6371000     		dl = 263.058589999819m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53312311--0.53316440) × R
    4.12899999999716e-05 × 6371000     		dr = 263.058589999819m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42534411-0.42539205) × cos(-0.53312311) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.861224029020807 × 6371000     		do = 263.039986369594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42534411-0.42539205) × cos(-0.53316440) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.861203043655255 × 6371000     		du = 263.033576898791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53312311)-sin(-0.53316440))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.861224029020807-0.861203043655255)×R²
    abs(0.42539205-0.42534411)×2.09853655515069e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.09853655515069e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.09853655515069e-05×40589641000000     		ar = 69194.0849046961m²