Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74408 / 76718
↖ ↑ ↗
← S 29.339087°
E 24.367676°		 ← 266.25 m → S 29.339087°
E 24.370422°		 →
↑
266.18 m
↓
↑
266.18 m
↓
S 29.341481°
E 24.367676°		 ← 266.24 m →
70 870 m²		 S 29.341481°
E 24.370422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74408 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76718 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567691802978516 y=0.585315704345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567691802978516 × 217)
    floor (0.567691802978516 × 131072)
    floor (74408.5)     		tx = 74408
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585315704345703 × 217)
    floor (0.585315704345703 × 131072)
    floor (76718.5)     		ty = 76718
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74408 / 76718 ti = "17/74408/76718"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74408/76718.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74408 ÷ 217
    74408 ÷ 131072     		x = 0.56768798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76718 ÷ 217
    76718 ÷ 131072     		y = 0.585311889648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56768798828125 × 2 - 1) × π
    0.1353759765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42529617
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585311889648438 × 2 - 1) × π
    -0.170623779296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.536030411551468
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42529617} λ = 0.42529617}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.536030411551468))-π/2
    2×atan(0.585066120552714)-π/2
    2×0.529366330198662-π/2
    1.05873266039732-1.57079632675     		φ = -0.51206367
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42529617} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.367676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51206367 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.339087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74408 KachelY 76718 0.42529617 -0.51206367 24.367676 -29.339087
    Oben rechts KachelX + 1 74409 KachelY 76718 0.42534411 -0.51206367 24.370422 -29.339087
    Unten links KachelX 74408 KachelY + 1 76719 0.42529617 -0.51210545 24.367676 -29.341481
    Unten rechts KachelX + 1 74409 KachelY + 1 76719 0.42534411 -0.51210545 24.370422 -29.341481
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51206367--0.51210545) × R
    4.17799999999913e-05 × 6371000     		dl = 266.180379999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51206367--0.51210545) × R
    4.17799999999913e-05 × 6371000     		dr = 266.180379999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42529617-0.42534411) × cos(-0.51206367) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.871735213229107 × 6371000     		do = 266.250372584691m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42529617-0.42534411) × cos(-0.51210545) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.871714741218238 × 6371000     		du = 266.244119905623m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51206367)-sin(-0.51210545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871735213229107-0.871714741218238)×R²
    abs(0.42534411-0.42529617)×2.04720108686329e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.04720108686329e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.04720108686329e-05×40589641000000     		ar = 70869.7931897378m²