Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74406 / 55135
↖ ↑ ↗
← N 27.452228°
E 24.362183°		 ← 271.03 m → N 27.452228°
E 24.364929°		 →
↑
271.02 m
↓
↑
271.02 m
↓
N 27.449790°
E 24.362183°		 ← 271.04 m →
73 457 m²		 N 27.449790°
E 24.364929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74406 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55135 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567676544189453 y=0.420650482177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567676544189453 × 217)
    floor (0.567676544189453 × 131072)
    floor (74406.5)     		tx = 74406
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420650482177734 × 217)
    floor (0.420650482177734 × 131072)
    floor (55135.5)     		ty = 55135
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74406 / 55135 ti = "17/74406/55135"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74406/55135.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74406 ÷ 217
    74406 ÷ 131072     		x = 0.567672729492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55135 ÷ 217
    55135 ÷ 131072     		y = 0.420646667480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567672729492188 × 2 - 1) × π
    0.135345458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42520030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420646667480469 × 2 - 1) × π
    0.158706665039062 × 3.1415926535     		Φ = 0.498591692948204
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42520030} λ = 0.42520030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.498591692948204))-π/2
    2×atan(1.64640099911906)-π/2
    2×1.02496404323963-π/2
    2.04992808647926-1.57079632675     		φ = 0.47913176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42520030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.362183°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47913176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.452228°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74406 KachelY 55135 0.42520030 0.47913176 24.362183 27.452228
    Oben rechts KachelX + 1 74407 KachelY 55135 0.42524824 0.47913176 24.364929 27.452228
    Unten links KachelX 74406 KachelY + 1 55136 0.42520030 0.47908922 24.362183 27.449790
    Unten rechts KachelX + 1 74407 KachelY + 1 55136 0.42524824 0.47908922 24.364929 27.449790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47913176-0.47908922) × R
    4.25400000000353e-05 × 6371000     		dl = 271.022340000225m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47913176-0.47908922) × R
    4.25400000000353e-05 × 6371000     		dr = 271.022340000225m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42520030-0.42524824) × cos(0.47913176) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.887395523553868 × 6371000     		do = 271.033434454264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42520030-0.42524824) × cos(0.47908922) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.887415134068556 × 6371000     		du = 271.039424010224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47913176)-sin(0.47908922))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887395523553868-0.887415134068556)×R²
    abs(0.42524824-0.42520030)×1.96105146881287e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.96105146881287e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.96105146881287e-05×40589641000000     		ar = 73456.9272869322m²