Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74405 / 53698
↖ ↑ ↗
← N 30.897511°
E 24.359436°		 ← 262.08 m → N 30.897511°
E 24.362183°		 →
↑
262.04 m
↓
↑
262.04 m
↓
N 30.895155°
E 24.359436°		 ← 262.09 m →
68 677 m²		 N 30.895155°
E 24.362183°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74405 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567668914794922 y=0.409687042236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567668914794922 × 217)
    floor (0.567668914794922 × 131072)
    floor (74405.5)     		tx = 74405
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.409687042236328 × 217)
    floor (0.409687042236328 × 131072)
    floor (53698.5)     		ty = 53698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74405 / 53698 ti = "17/74405/53698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74405/53698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74405 ÷ 217
    74405 ÷ 131072     		x = 0.567665100097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53698 ÷ 217
    53698 ÷ 131072     		y = 0.409683227539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567665100097656 × 2 - 1) × π
    0.135330200195312 × 3.1415926535     		Λ = 0.42515236
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.409683227539062 × 2 - 1) × π
    0.180633544921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.567477017702225
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42515236} λ = 0.42515236}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.567477017702225))-π/2
    2×atan(1.76381136813381)-π/2
    2×1.05502981401071-π/2
    2.11005962802142-1.57079632675     		φ = 0.53926330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42515236} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.359436°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53926330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.897511°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74405 KachelY 53698 0.42515236 0.53926330 24.359436 30.897511
    Oben rechts KachelX + 1 74406 KachelY 53698 0.42520030 0.53926330 24.362183 30.897511
    Unten links KachelX 74405 KachelY + 1 53699 0.42515236 0.53922217 24.359436 30.895155
    Unten rechts KachelX + 1 74406 KachelY + 1 53699 0.42520030 0.53922217 24.362183 30.895155
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53926330-0.53922217) × R
    4.11300000000558e-05 × 6371000     		dl = 262.039230000356m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53926330-0.53922217) × R
    4.11300000000558e-05 × 6371000     		dr = 262.039230000356m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42515236-0.42520030) × cos(0.53926330) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.858087212563842 × 6371000     		do = 262.081921881677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42515236-0.42520030) × cos(0.53922217) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.858108332256657 × 6371000     		du = 262.088372379483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53926330)-sin(0.53922217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.858087212563842-0.858108332256657)×R²
    abs(0.42520030-0.42515236)×2.11196928145974e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.11196928145974e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.11196928145974e-05×40589641000000     		ar = 68676.5901584309m²