Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74403 / 76733
↖ ↑ ↗
← S 29.374995°
E 24.353943°		 ← 266.16 m → S 29.374995°
E 24.356690°		 →
↑
266.12 m
↓
↑
266.12 m
↓
S 29.377388°
E 24.353943°		 ← 266.15 m →
70 828 m²		 S 29.377388°
E 24.356690°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74403 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76733 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567653656005859 y=0.585430145263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567653656005859 × 217)
    floor (0.567653656005859 × 131072)
    floor (74403.5)     		tx = 74403
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585430145263672 × 217)
    floor (0.585430145263672 × 131072)
    floor (76733.5)     		ty = 76733
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74403 / 76733 ti = "17/74403/76733"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74403/76733.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74403 ÷ 217
    74403 ÷ 131072     		x = 0.567649841308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76733 ÷ 217
    76733 ÷ 131072     		y = 0.585426330566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567649841308594 × 2 - 1) × π
    0.135299682617188 × 3.1415926535     		Λ = 0.42505649
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585426330566406 × 2 - 1) × π
    -0.170852661132812 × 3.1415926535     		Φ = -0.536749465045769
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42505649} λ = 0.42505649}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.536749465045769))-π/2
    2×atan(0.584645577928775)-π/2
    2×0.529052973297129-π/2
    1.05810594659426-1.57079632675     		φ = -0.51269038
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42505649} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.353943°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51269038 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.374995°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74403 KachelY 76733 0.42505649 -0.51269038 24.353943 -29.374995
    Oben rechts KachelX + 1 74404 KachelY 76733 0.42510443 -0.51269038 24.356690 -29.374995
    Unten links KachelX 74403 KachelY + 1 76734 0.42505649 -0.51273215 24.353943 -29.377388
    Unten rechts KachelX + 1 74404 KachelY + 1 76734 0.42510443 -0.51273215 24.356690 -29.377388
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51269038--0.51273215) × R
    4.1770000000052e-05 × 6371000     		dl = 266.116670000332m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51269038--0.51273215) × R
    4.1770000000052e-05 × 6371000     		dr = 266.116670000332m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42505649-0.42510443) × cos(-0.51269038) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.871427968405147 × 6371000     		do = 266.156532106664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42505649-0.42510443) × cos(-0.51273215) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.871407478478701 × 6371000     		du = 266.150273955717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51269038)-sin(-0.51273215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871427968405147-0.871407478478701)×R²
    abs(0.42510443-0.42505649)×2.04899264456548e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.04899264456548e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.04899264456548e-05×40589641000000     		ar = 70827.8573341827m²